2007年高考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P※Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．12

2. 难度：中等

已知实数x，y满足2x+y+5=0，那么的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．2

3. 难度：中等

将函数y=f（x）•sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到函数y=1-2sin²x的图象，则f（x）是（ ）
A．-2cos
B．2cos
C．-2sin
D．2sin

4. 难度：中等

设e是单位向量，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

5. 难度：中等

某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ）
A．a（1+p）⁴
B．a（1+p）⁵
C．[（1+p）⁴-（1+p）]
D．[（1+p）⁵-（1+p）]

6. 难度：中等

四面体中，有同一个面上的两条棱长为，其余棱长全为1时，它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．以上全不正确

7. 难度：中等

设（1-2x）¹⁰=a₁+a₂x+a₃x²+…a₁₁x¹⁰，则a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁等于（ ）
A．3¹⁰-1
B．1-3^10*
C．
D．

8. 难度：中等

抛物线y²=2px与直线ax+y-4=0交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（ ）
A．7
B．
C．6
D．5

9. 难度：中等

如果一个三位正整数如“a₁a₂a₃”满足a₁＜a₂且a₃＜a₂，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数个数为（ ）
A．240
B．204
C．729
D．920

10. 难度：中等

一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁、A₁A₂、A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA₃为半径画弧…，这样画到第n圈，则所得螺旋线CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的总长度S_n为（ ）

A．n（3n+1）π
B．
C．2π（3n-1）
D．n（n+1）π

二、解答题

11. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出    人．

12. 难度：中等

若sin，sin，则tanαcotβ=    ．

13. 难度：中等

若线性目标函数z=x+y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时    ．

15. 难度：中等

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

以长方体ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是    （用数字作答）．

17. 难度：中等

某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（1）求该盒产品被检验合格的概率；
（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-3，3]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分，截面圆O₁的面积为12π，2OO₁=R，BC是截面圆O₁的直径，D是圆O₁上不同于B，C的一点，CA是球O的一条直径．
①求证：平面ADC⊥平面ABD；
②求三棱锥A-BCD的体积最大值；
③当D分BC的两部分的比BD：DC=1：2时，求二面角B-AC-D的正切值．

20. 难度：中等

设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-．
（1）求M点轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．

21. 难度：中等

已知：数列{a_n}满足，其中n∈N，首项为a．
（1）若对于任意的n∈N，数列{a_n}还满足a_n=p（p为常数），试求a的值；
（2）若存在a，使数列{a_n}满足：对任意正整数n，均有a_n＜a_n+1，求a的取值范围．；
（3）若a=4，求满足不等式a_n≤2的自然数n的集合