2010年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解集为   

2. 难度：中等

若复数z=1-2i（i为虚数单位），则=    ．

3. 难度：中等

（上海卷理3文8）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为    ．

4. 难度：中等

行列式的值是    ．

5. 难度：中等

圆C：x²+y²-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=    ．

6. 难度：中等

随机变量ξ的概率分布率由下图给出：
则随机变量ξ的均值是    

7. 难度：中等

2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入   

8. 难度：中等

（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log_a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是   

9. 难度：中等

从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=    ．（结果用最简分数表示）

10. 难度：中等

在n行m列矩阵中，记位于第i行第j列的数为a_ij（i，j=1，2…，n）．当n=9时，a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a₉₉=    ．

11. 难度：中等

将直线l₁：nx+y-n=0和直线l₂：x+ny-n=0（n∈N^*，n≥2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S_n，则S_n=    ．

12. 难度：中等

如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为    ．

13. 难度：中等

如图所示，直线x=2与双曲线Γ：的渐近线交于E₁，E₂两点，记，，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是    ．

14. 难度：中等

以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有    种不同的选法．

二、选择题

15. 难度：中等

“”是“tanx=1”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

直线l的参数方程是（t∈R），则l的方向向量可以是（ ）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（-2，1）
D．（1，-2）

17. 难度：中等

若x是方程的解，则x属于区间（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（0，）

18. 难度：中等

（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ）
A．不能作出这样的三角形
B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形
D．作出一个钝角三角形

三、解答题

19. 难度：中等

已知，化简：lg+lg[cos（x-）-lg（1+sin2x）．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

21. 难度：中等

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A₁B₃与A₃B₅所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

22. 难度：中等

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离；
（3）已知函数f（x）的定义域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

23. 难度：中等

已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k₁•k₂=-，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P₁、P₂满足+=，写出求作点P₁、P₂的步骤，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范围．