2007年北京市崇文区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|-x≤x＜3}，N={x|-1≤x≤4}，则M∩N等于（ ）
A．{x|-4≤x≤-2}
B．{x|-1≤x≤3}
C．{x|0≤x＜3}
D．{x|3＜x≤4}

2. 难度：中等

函数f（x）=2^x+1-3的反函数图象经过Q点，则Q点的一个坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（3，1）
C．（4，2）
D．（5，2）

3. 难度：中等

把函数y=cosx的图象按向量平移后得到的图象的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

5. 难度：中等

若条件p：（x-1）（y-2）=0，条件：q：（x-1）²+（y-2）²=0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有（ ）
A．50种
B．150种
C．300种
D．600种

7. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

8. 难度：中等

已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆的右焦点，点Q在椭圆上移动，的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、解答题

9. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，若首项a₁=3，前三项之和为21，则a₃+a₄+a₅=    ．

10. 难度：中等

抛物线的准线方程为    ．

11. 难度：中等

若曲线的某一切线与x轴平行，则切点坐标为     ，切线方程为     ．

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意点，则直线BM与OP所成的角为    ．

13. 难度：中等

若展开式中只有第四项的系数最大，则n=    ，展开式中的第五项为    ．

14. 难度：中等

下列函数①；②f（x）=sin²x；③f（x）=2^-|x|；④中，满足“存在与x无关的正常数M，使得|f（x）|≤M对定义域内的一切实数x都成立”的有     ．（把满足条件的函数序号都填上）

15. 难度：中等

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率．

16. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）当f（x）在x=1处取得极值时，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当f（x）的极大值不小于时，求m的取值范围．

17. 难度：中等

已知S（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，…，a_n组成等差数列，n为正偶数，设S（1）=n²，S（-1）=n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

18. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

19. 难度：中等

已知双曲线的离心率e=2，且B₁、B₂分别是双曲线虚轴的上、下端点．
（Ⅰ）若双曲线过点Q（2，），求双曲线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A、B是双曲线上不同的两点，且，求直线AB的方程．

20. 难度：中等

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．