2006年高考第一轮复习数学：8.1 椭圆（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆+=1的两个焦点，过F₁的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF₂的周长为（ ）
A．8
B．16
C．25
D．32

2. 难度：中等

已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上．若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A．
B．3
C．
D．

3. 难度：中等

椭圆（θ为参数）的焦点坐标为（ ）
A．（0，0），（0，-8）
B．（0，0），（-8，0）
C．（0，0），（0，8）
D．（0，0），（8，0）

4. 难度：中等

+y²=1的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF₂|等于（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

F₁、F₂为椭圆的两个焦点，以F₂为圆心作圆F₂，已知圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该椭圆的离心率e为（ ）
A．-1
B．2-
C．
D．

二、解答题

6. 难度：中等

方程x²+ky²=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是     ．

7. 难度：中等

在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是    ．

8. 难度：中等

+=1的离心率是    ，准线方程是    ．

9. 难度：中等

P是椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为     ．

10. 难度：中等

已知F₁为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率．

11. 难度：中等

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

12. 难度：中等

如图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ．
求证：△PF₁F₂的面积S=b²tanθ．

13. 难度：中等

椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程．

14. 难度：中等

直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程．

15. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

16. 难度：中等

设x、y∈R，、为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

17. 难度：中等

已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，已知△OFP的面积为m，且=1．
（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；
（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．

19. 难度：中等

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．