2008年上海市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式|x-1|＜1的解集是    ．

2. 难度：中等

若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=    ．

3. 难度：中等

若复数z满足z=i（2-z）（i是虚数单位），则z=    ．

4. 难度：中等

若函数f（x）的反函数为f^-1（x）=log₂x，则f（x）=    ．

5. 难度：中等

若向量，满足且与的夹角为，则=    ．

6. 难度：中等

若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=    ．

7. 难度：中等

若z是实系数方程x²+2x+p=0的一个虚根，且|z|=2，则p=    ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是    （结果用分数表示）．

9. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=    ．

10. 难度：中等

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是     ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

设p是椭圆上的点．若F₁，F₂是椭圆的两个焦点，则|PF₁|+|PF₂|等于（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10

13. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

14. 难度：中等

若数列{a_n}是首项为1，公比为a-的无穷等比数列，且{a_n}各项的和为a，则a的值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17. 难度：中等

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos，直线x=t（t∈R）．与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点．
（1）当时，求|MN|的值；
（2）求|MN|在时的最大值．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^tf（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；
（3）已知点D，E，M的坐标分别为（-2，-1），（2，-1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2（n是正整数），与数列{b_n}：b₁=1，b₂=0，b₃=-1，b₄=0，b_n+4=b_n（n是正整数）．
记T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T_12n=-4n．