2007年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x（x-3）＜0}，N={x||x|＜2}，则M∩N=（ ）
A．（-2，0）
B．（0，2）
C．（2，3）
D．（-2，3）

2. 难度：中等

向量=（1，-2），=（6，3），则与的夹角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是前n项的和，若S₅=20，则a₂+a₃+a₄=（ ）
A．15
B．18
C．9
D．12

4. 难度：中等

将指数函数f（x）的图象向右平移一个单位，得到如图的g（x）的图象，则f（x）=（ ）
A．2^x
B．3^x
C．
D．

5. 难度：中等

条件“a＞0，且a≠1”是条件“log_a2＞0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

6. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D为AB中点，则异面直线CD与A₁C₁所成的角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

7. 难度：中等

从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（ ）
A．18种
B．36种
C．54种
D．72种

8. 难度：中等

我们可以用以下方法来求方程x³+x-1=0的近似根：设f（x）=x³+x-1，由f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，可知方程必有一根在区间（0，1）内；再由f（0.5）=-0.375＜0，可知方程必有一根在区间（0.5，1）内；依此类推，此方程必有一根所在的区间是（ ）
A．（0.5，0.6）
B．（0.6，0.7）
C．（0.7，0.8）
D．（0.8，0.9）

二、解答题

9. 难度：中等

函数的反函数为    ．

10. 难度：中等

设实数满足，则z=2x-y的最大值为    ．

11. 难度：中等

过点的直线l经过圆：x²+y²-2y=0的圆心，则直线l的倾斜角大小为    ．

12. 难度：中等

若（1-ax）⁶的展开式中x⁴的系数是240，则实数a的值是    ．

13. 难度：中等

已知平面向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．当时，•的值为    ；若=λ，则实数λ的值为    ．

14. 难度：中等

某资料室在计算机使用中，如表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为    ；编码100共出现    次．

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

15. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

16. 难度：中等

甲乙两个篮球运动员相互没有影响的站在罚球线上投球，其中甲的命中率为，乙的命中率为，现在每人都投球三次，且各次投球的结果互不影响，求
（Ⅰ）甲恰好投进两球的概率；
（Ⅱ）乙至少投进一球的概率；
（Ⅲ）甲比乙多投进两球的概率．

17. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B₁-CD-B的正切值．

18. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．求
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值．

19. 难度：中等

已知点在椭圆上，且该椭圆的离心率为．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）若直线l与直线AB：y=-4的夹角的正切值为2，且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a_n=7S_n-1-1（n≥2），a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n，是否存在最小的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．