2004年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若tanα=，则tan（α+）=    ．

2. 难度：中等

设抛物线的顶点坐标为（2，0），准线方程为x=-1，则它的焦点坐标为    ．

3. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B=    ．

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}（n∈N）的公比q=-，且（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）=，则a₁=    ．

5. 难度：中等

设奇函数f（x）的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是    ．

6. 难度：中等

已知点A（1，-2），若向量与a=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，点M（4，）到直线l：ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d=    ．

8. 难度：中等

圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4）、B（0，-2），则圆C的方程为    ．

9. 难度：中等

若在二项式（x+1）¹⁰的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是     ． （结果用分数表示）

10. 难度：中等

若函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞]上为增函数，则实数a、b的取值范围是    ．

11. 难度：中等

教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是    ．

12. 难度：中等

若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a_n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a_n}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第    组．（写出所有符合要求的组号）
①S₁与S₂；②a₂与S₃；③a₁与a_n；④q与a_n．（其中n为大于1的整数，S_n为{a_n}的前n项和．）

二、选择题

13. 难度：中等

在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α

14. 难度：中等

三角方程2sin（-x）=1的解集为（ ）
A．{x|x=2kπ+，k∈Z}
B．{x|x=2kπ+，k∈Z}
C．{x|x=2kπ±，k∈Z}
D．{x|x=kπ+（-1）^K，k∈Z}

15. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象可由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f（x）等于（ ）
A．10^-x-1
B．10^x-1
C．1-10^-x
D．1-10^x

16. 难度：中等

某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下

行业名称	计算机	机械	营销	物流	贸易
应聘人数	215830	200250	154676	74570	65280

行业名称	计算机	营销	机械	建筑	化工
招聘人数	124620	102935	89115	76516	70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数z₁满足（1+i）z₁=-1+5i，z₂=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜|z₁|，求a的取值范围．

18. 难度：中等

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8m²．问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？

19. 难度：中等

记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．

21. 难度：中等

如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA=求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由．