2010年浙江省温州市六校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知实数a，b，则“ab≥2”是“a²+b²≥4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

复数，a∈R，且，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+2f′（2）x，n=f′（2），则二项式展开式中常数项是（ ）
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项

4. 难度：中等

某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A．24
B．120
C．240
D．720

5. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积（单位：cm³）是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

在△ABC中，，，，则=（ ）
A．或2
B．或
C．2
D．或2

7. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c[a、b、c∈（0，1）]，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*），则a₂₀₀₉的值为（ ）
A．4016
B．4017
C．4018
D．4019

9. 难度：中等

已知抛物线y²=2x，设点A的坐标为（，0），则抛物线上距点A最近的点P的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（0，1）
C．（1，0）
D．（-2，0）

10. 难度：中等

如图，在△OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对（x，y）所表示的区域在直线y-x=3的右下侧部分的面积是（ ）

A．
B．
C．4
D．5

二、解答题

11. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=3^x+γ的图象上，则实数r=    ．

13. 难度：中等

已知，，则sinα=    ．

14. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动点，若||-||=4，则•（-）=   

15. 难度：中等

如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有     种．

16. 难度：中等

观察如图数表：其中第1行有100个数，第2行有99个数，…，依次继续，则第100行只有1个数，这个数等于    ．

17. 难度：中等

设函数，若[x]表示不大于x的最大整数，则函数的值域是    ．

18. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中0＜α＜π．
（Ⅰ）若=，求角α的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinα-cosα的值

19. 难度：中等

在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

21. 难度：中等

如图，已知圆A过定点B（0，2），圆心A在抛物线C：x²=4y上运动，MN为圆A在x轴上所截得的弦．
（Ⅰ）证明：|MN|是定值；
（Ⅱ）讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系；
（Ⅲ）设D是抛物线C的准线l上任意一点，过D向抛物线作两条切线DS，DT（切点是S，T），判断直线ST是否过定点，并证明你的结论．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ax•lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）≤x²-1，求正数a的取值范围．