2008年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是（ ）．
A．[-3，+∞）
B．[-3，2）∪（2，+∞）
C．（-3，2）∪（2，+∞）
D．（-∞，2）∪（2，+∞）

2. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=3^x+1的图象关于y轴对称，则函数f（x）的表达式为（ ）．
A．f（x）=-3^x-1
B．f（x）=3^x-1
C．f（x）=-3^-x+1
D．f（x）=3^-x+1

3. 难度：中等

如图，正方体AC₁中，直线A₁B与B₁C所成的角的大小是（ ）

A．90°
B．30°
C．45°
D．60°

4. 难度：中等

要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

5. 难度：中等

某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为（ ）．
A．C₂₄⁴C₁₆⁶
B．C₂₄⁶C₁₆⁴
C．C₂₄⁸C₁₆²
D．C₂₄⁷C₁₆³

6. 难度：中等

已知O为△ABC内一点，且，则△AOC与△ABC的面积之比是（ ）．
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．1：1

7. 难度：中等

制作一个面积为1 m²，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是（ ）．
A．5.2m
B．5m
C．4.8m
D．4.6m

8. 难度：中等

集合M由满足以下条件的函数f（x）组成：对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．对于两个函数，以下关系成立的是（ ）．
A．f₁（x）∈M，f₂（x）∈M
B．f₁（x）∉M，f₂（x）∉M
C．f₁（x）∉M，f₂（x）∈M
D．f₁（x）∈M，f₂（x）∉M

二、解答题

9. 难度：中等

已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是     ．

10. 难度：中等

设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域上运动，则z=x+y的最小值是    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，已知a、b分别为角A、B的对边，a=3，A=45°，B=60°，则b=    ．

12. 难度：中等

展开式中的常数项是    （用数字作答）．

13. 难度：中等

如图，已知F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则=    ；椭圆C的离心率为    ．

14. 难度：中等

把形如M=mⁿ（m，n∈N^*）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列前m项的和，称作“对M的m项分划”．例如，把9表示成9=3²=1+3+5，称作“对9的3项分划”，把64表示成64=4³=13+15+17+19，称作“对64的4项分划”．据此，对25的5项分划中最大的数是    ；625的5项分划中第2项是    ．

15. 难度：中等

已知（）．
（Ⅰ）求cosx的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小．

17. 难度：中等

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P₂．
（Ⅰ）若m=10，求甲袋中红球的个数；
（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P₂的值；
（Ⅲ）设P₂=，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，求摸出的3个球中恰有2个红球的概率．

18. 难度：中等

已知点（n，a_n）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，（n∈N*）．求数列{d_n}的通项公式；
（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁、x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记，试判断数列{b_n}是否为等差数列，并说明理由．

19. 难度：中等

已知函数+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f'（x）-ax-4，若对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范围．

20. 难度：中等

已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点．求证：为定值．