2007年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=x-i（x∈R），若z₁•z₂为实数，则x等于（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

2. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题

3. 难度：中等

已知直线y=a（a＞0）和圆x²+y²+2x-2y-2=0相切，那么a的值是（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和是S_n，且a₁+a₂=2，a₂+a₃=1，那么S_n的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在的展开式中的常数项是（ ）
A．7
B．-7
C．28
D．-28

6. 难度：中等

已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（-a）等于（ ）
A．b
B．-b
C．
D．-

7. 难度：中等

已知k∈Z，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若集合A₁，A₂满足A₁∪A₂=A，则记[A₁，A₂]是A的一组双子集拆分．规定：[A₁，A₂]和[A₂，A₁]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2，3}，那么A的不同双子集拆分共有（ ）
A．15组
B．14组
C．13组
D．12组

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量a=（1，3），b=（x，-1），且a∥b，则实数x=    ．

10. 难度：中等

已知函数的最小正周期是，那么正数ω=    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是    ；变量z=x+3y的最大值是    ．

12. 难度：中等

设双曲线，则双曲线的离心率e=    ．

13. 难度：中等

设函数g（x）=4x²-lnx+2，则曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程     ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命题
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；②f=f（x₁）+f（x₂）；③；④．其中正确的命题序号是     ．

15. 难度：中等

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角C的大小；
（2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值．

16. 难度：中等

某次有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3千元，答对问题B可赢得奖金6千元．规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对才能解答下一个问题，否则中止答题．假设你答案对问题A、B的概率依次为．
（1）若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额ξ的分布列及期望Eξ；
（2）你认为获得奖金期望值的大小与答题顺序有关吗？证明你的结论．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

18. 难度：中等

设{a_n}是公差d≠0的等差数列，S_n是其前n项的和．
（1）若a₁=4，且，求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在p，q∈N^*，且p≠q，使得S_p+q是S_2p和S_2q的等差中项？证明你的结论．

19. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4，
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上为增函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）设，当三角形OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．