2010年江苏省徐州市高考数学信息试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，．求三棱锥A₁-AB₁C的体积    ．

2. 难度：中等

的最大值为     ．

3. 难度：中等

复数z满足（1+i）z=i则=    ．

4. 难度：中等

已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c•a=1，c•b=1，，则对任意的正实数t，的最小值是    ．

5. 难度：中等

如图，F₁和F₂分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为    ．

6. 难度：中等

一正方体的棱长为m，表面积为n；一球的半径为p，表面积为q，若，则=    ．

7. 难度：中等

已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为     ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ω的最小值是     ．

9. 难度：中等

，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若规定恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有    ．

10. 难度：中等

f（x）=lg在（-∞，2]上有意义，则实数k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h₁，h₂，h，则h₁：h₂：h=    ．

12. 难度：中等

某超市采用“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元，就送20元，满200元就送40元奖励劵，满300元就送60元奖励劵…．当是有一位顾客共花出现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他最多能购买    元的商品．

13. 难度：中等

已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组数：x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，（ n∈N^*，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比数列．老师给出下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的是    ．

14. 难度：中等

已知一组抛物线，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是    ．

15. 难度：中等

已知直线y=2x+k被抛物线x²=4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点．
（1）求实数k的值；
（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？

16. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

17. 难度：中等

设常数a≥0，函数f（x）=x-ln²x+2alnx-1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

18. 难度：中等

A={a₁，a₂，…，a_k}（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a不属于A，则称集合A具有性质P．
（1）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（2）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

19. 难度：中等

公民在就业的第一年就交纳养老储备金a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

20. 难度：中等

数列{a_n}中，，其前n项的和为S_n．
求证：．