2001年北京市高考数学试卷（理）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是（ ）
A．32
B．31
C．16
D．15

2. 难度：中等

若f（x）=a^x（a＞0且a≠1）对于任意实数x、y都有（ ）
A．f（xy）=f（x）•（y）
B．f（xy）=f（x）+（y）
C．f（x+y）=f（x）f（y）
D．f（x+y）=f（x）+f（y）

3. 难度：中等

=（ ）
A．0
B．2
C．
D．

4. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．y=x²-1（-1≤x≤0）
B．y=x²-1（0≤x≤1）
C．y=1-x²（x≤0）
D．y=1-x²（0≤x≤1）

5. 难度：中等

极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
（ ）
A．圆
B．两条平行直线
C．抛物线
D．双曲线

7. 难度：中等

已知f（x⁶）=log₂x，那么f（8）等于（ ）
A．
B．8
C．18
D．

8. 难度：中等

若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB-sinA，sinB-cosA）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

9. 难度：中等

如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

若b为实数，且a+b=2，则3^a+3^b的最小值为（ ）
A．18
B．6
C．2
D．2

11. 难度：中等

如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④

12. 难度：中等

根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S_n（万件）近似地满足关系式S_n=（21n-n²-5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）
A．5、6月
B．6、7月
C．7、8月
D．8、9月

二、解答题

13. 难度：中等

已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于    ．

14. 难度：中等

椭圆x²+4y²=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是    ．

15. 难度：中等

已知sin²α+sin²β+sin²γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于    ．

16. 难度：中等

已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题的序号是    ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

17. 难度：中等

设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

18. 难度：中等

已知z⁷=1（z∈C且z≠1）．
（1）证明1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=0；
（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．

19. 难度：中等

如图已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC．
（1）证明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB．

20. 难度：中等

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，…，b_n，使这n+2个数成等差数列．记A_n=a₁a₂a₃…a_n，B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（1）求数列{A_n}和{B_n}的通项；
（2）当n≥7时，比较A_n和B_n的大小，并证明你的结论．

21. 难度：中等

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

22. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．