2010年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若在行列式中，元素a的代数余子式的值是    ．

2. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

在极坐标系中，点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是    ．

4. 难度：中等

函数的值域为    ．

5. 难度：中等

若无穷等比数列{a_n}的各项和等于a₁²，则a₁的取值范围是    ．

6. 难度：中等

从1～4这4个数中任取一个数作分子，从2～4这3个数中任取一个数作分母，组成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率是     ．

7. 难度：中等

如图所示，Rt△AOB绕直角边AO所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系O-xyz中，点B（2，0，0）和点E（0，2，-1）均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为     ．

8. 难度：中等

设曲线C定义为到点（-1，-1）和（1，1）距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，则此时曲线C的方程为     ．

9. 难度：中等

已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．设ξ为取出的2个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=    ．

10. 难度：中等

已知向量，，对任意t∈R，恒有．现给出下列四个结论：
①；②；③，④
则正确的结论序号为     ．（写出你认为所有正确的结论序号）

11. 难度：中等

设双曲线的半焦距为c．已知原点到直线l：bx+ay=ab的距离等于，则c的最小值为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

设函数f（x）=2lg（2x-1），则f^-1（0）的值为（ ）
A．0
B．1
C．10
D．不存在

13. 难度：中等

已知cos（x-）=m，则cosx+cos（x-）=（ ）
A．2m
B．±2m
C．
D．

14. 难度：中等

将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是△GHI三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）

A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

已知方程b²x²-a²[k（x-b）]²-a²b²=0（b＞a＞0）的根大于a，则实数k满足（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

16. 难度：中等

设x∈R，．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，CD=2，A₁D⊥平面ABCD，AA₁与底面ABCD所成
角为θ，∠ADC=2θ．
（1）若θ=45°，求直线A₁C与该平行六面体各侧面
所成角的最大值；
（2）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V的取值范围．

18. 难度：中等

某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？

19. 难度：中等

如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）试研究数列{a_n}为等比数列的条件，并证明你的结论．