1981年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．

2. 难度：中等

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

3. 难度：中等

下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．

4. 难度：中等

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．

5. 难度：中等

解不等式（x为未知数）：．

6. 难度：中等

用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．

7. 难度：中等

设1980年底我国人口以10亿计算．
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？
（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

8. 难度：中等

在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，
（1）求直线AB和棱a所成的角；
（2）求直线AB和平面Q所成的角．

9. 难度：中等

给定双曲线．
（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．
（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

10. 难度：中等

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u₁=a-b，u₂=a²-ab+b²，u₃=a³-a²b+ab²-b³，…，u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-…+（-1）^kb^k；
求证：u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3）．