2007年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

已知l₁：2x+my+1=0与l₂：y=3x-1，若两直线平行，则m的值为    ．

3. 难度：中等

函数的反函数f^-1（x）=   

4. 难度：中等

方程9^x-6•3^x-7=0的解是    ．

5. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，且x+4y=1，则x•y的最大值为    ．

6. 难度：中等

函数的最小正周期是T=   

7. 难度：中等

有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为   

8. 难度：中等

已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为   

9. 难度：中等

对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）²=a²+2ab+b²；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a²=ab，则a=b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是    ．

10. 难度：中等

平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l₁，l₂，又知l₁，l₂在α内的射影为s₁，s₂，在β内的射影为t₁，t₂．试写出s₁，s₂与t₁，t₂满足的条件，使之一定能成为l₁，l₂是异面直线的充分条件     ．

11. 难度：中等

已知圆的方程x²+（y-1）²=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为   

二、选择题

12. 难度：中等

已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（ ）
A．p=-4，q=5
B．p=-4，q=3
C．p=4，q=5
D．p=4，q=3

13. 难度：中等

设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＜b²
B．ab²＜a²b
C．
D．

14. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

15. 难度：中等

已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k²成立，则f（k+1）≥（k+1）²成立，下列命题成立的是（ ）
A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k²成立；
B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k²成立；
C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k²成立；
D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k²成立

三、解答题

16. 难度：中等

体积为1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角．

17. 难度：中等

在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．

18. 难度：中等

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）
（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

若有穷数列a₁，a₂…a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1…a_n=a₁即a_i=a_n-i+1
（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列{b_n}是项数为7的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列，b₁=2，b₄=11，试写出{b_n}的每一项
（2）已知{c_n}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且c_k，c_k+1…c_2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{c_n}的前2k-1项和为S_2k-1，则当k为何值时，S_2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2²…2^m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S₂₀₀₈

21. 难度：中等

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形FF₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．