2010年上海市松江区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={y|y=x²-2x+1}，x∈R，集合B={y|y=-x²+1}，x∈R，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

方程lgx+lg（x+3）=1的解x=    ．

3. 难度：中等

设函数，那么f^-1（10）=    ．

4. 难度：中等

一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积V=    ．

5. 难度：中等

已知复数z₁=m+2i，z₂=3-4i，若为实数，则实数m的值为    ．

6. 难度：中等

在极坐标系中，若直线l的方程是ρsin（θ+）=1，点P的坐标为（2，π），则点P到直线l的距离d=    ．

7. 难度：中等

设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为     ．

8. 难度：中等

右图是计算
的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填入的条件是    ．

9. 难度：中等

已知（2^x-）⁹展开式的第7项为，则（x+x²+x³+…+xⁿ）=    ．

10. 难度：中等

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是    ．

11. 难度：中等

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为    ．

12. 难度：中等

若关于x的方程9^-|x-2|-4×3^-|x-2|-a=0，有实数根，则实数a的范围    ．

13. 难度：中等

设函数F（x）和f（x）都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的实数p和q，使得不等式f（p）≤≤f（q）成立，则称F（x）是f（x）在区间D上的甲函数，f（x）是F（x）在区间D上的乙函数．已知F（x）=x²-3x，x∈R，那么F（x）的乙函数f（x）=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=m（m为正整数），a_n+1=若a₆=1，则m所有可能的取值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设a，b∈R，则“a+b＞2且ab＞1”是“a＞1且b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

16. 难度：中等

将函数f（x）=cosx-sinx的图象向右平移a（a＞0）个单位，所得图象的函数为偶函数，则a的最小值为．
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

已知集合，B={z||z|=1，z∈C}，若A∩B=φ，则a、b之间的关系是（ ）
A．a²+b²＞1
B．a²+b²＜1
C．a+b＞1
D．a+b＜1

18. 难度：中等

若函数f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=log_a（x+k）的是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
（1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
（2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）．

20. 难度：中等

设在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F依次为C₁C，BC的中点．
（1）求异面直线A₁B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点B₁到平面AEF的距离．

21. 难度：中等

已知椭圆E的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点；斜率为k（k＞0）的直线l过点A（0，2），为直线l的一个法向量，坐标平面上的点B满足条件．
（1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离；
（2）若椭圆E上恰好存在3个这样的点B，求k的值．

22. 难度：中等

设{a_n}，{b_n}是两个数列，M（1，2），A_n为直角坐标平面上的点．对n∈N^*，若三点M，A_n，B共线，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：，其中{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上；
（3）记数列{a_n}、{b_n}的前m项和分别为A_m和B_m，对任意自然数n，是否总存在与n相关的自然数m，使得a_nB_m=b_nA_m？若存在，求出m与n的关系，若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列x=g（t）是不是f（x）的一个等值域变换？说明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）设f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围，并指出x=g（t）的一个定义域；
（3）设函数f（x）的定义域为D，值域为B，函数g（t）的定义域为D₁，值域为B₁，写出x=g（t）是f（x）的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．