2003年江苏省高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果函数y=ax²+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为（ ）
A．
B．
C．8
D．-8

3. 难度：中等

已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

设函数若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-2）∪（0，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

5. 难度：中等

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

6. 难度：中等

函数，x∈（1，+∞）的反函数为（ ）
A．，x∈（0，+∞）
B．，x∈（0，+∞）
C．，x∈（-∞，0）
D．，x∈（-∞，0）

7. 难度：中等

棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）
A．[0，]
B．[0，]
C．[0，||]
D．[0，||]

9. 难度：中等

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线的方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

11. 难度：中等

已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD．DA和AB上的点P₂．P₃和P₄（入射角等于反射角），设P₄坐标为（x₄，0），若1＜x₄＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

12. 难度：中等

棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．3
D．6π

二、解答题

13. 难度：中等

在的展开式中，x³的系数是    （用数字作答）

14. 难度：中等

某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取    辆、    辆、    辆．

15. 难度：中等

某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有    种．（以数字作答）

16. 难度：中等

对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是     ．（写出所有真命题的序号）

17. 难度：中等

在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求ϕ和ω的值．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离．

20. 难度：中等

已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ，为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

22. 难度：中等

设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x²，C上的点Q₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜a）．从C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}．
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n的关系，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明．