2009年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则的值为（ ）
A．-2
B．
C．2
D．

2. 难度：中等

命题甲“sinα＞sinβ”，命题乙“α＞β”，那么甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A．x+y-5=0
B．2x-y-1=0
C．2y-x-4=0
D．2x+y-7=0

4. 难度：中等

若非零向量，满足|+|=||，则（ ）
A．|2|＞|2+|
B．|2|＜|2+|
C．|2|＞|+2|
D．|2|＜|+2|

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{}的前n项为S_n则S₂₀₁₁的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

数列{a_n}共有6项，其中三项是1，两项为2，一项是3，则满足上述条件的数列共有（ ）
A．24个
B．60个
C．72个
D．120个

7. 难度：中等

已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形不能（ ）
A．都是直线
B．都是平面
C．x，y是直线，z是平面
D．x，z是平面，y是直线

8. 难度：中等

函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（-x）+2x的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若，则a=    ．

10. 难度：中等

若二项式的展开式共7项，则n的值为    ，展开式中的常数项为    ．

11. 难度：中等

如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

关于函数，给出下列三个命题：
（1）函数f（x）在区间上是减函数；
（2）直线是函数f（x）的图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可以由函数的图象向左平移而得到．
其中正确的命题序号是    ．（将你认为正确的命题序号都填上）

13. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．若正三棱锥的高为1，则球的半径为    ，P，A两点的球面距离为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，且对定义域内任意自变量x满足f（1-x）=f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）=e^x，则当x∈[-1，0）时，f（x）=    ，当x∈（4k，4k+1]，k∈N^*时，f（x）=    ．

15. 难度：中等

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞42+4n成立的n的最小值．

16. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若，求．

17. 难度：中等

如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=a，G是EF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-AC-G的大小．

18. 难度：中等

甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形如图：

若将频率视为概率，回答下列问题：
（Ⅰ）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分
布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

20. 难度：中等

设x₁，x₂是+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．