2008年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，3，4，5}，B={2，3，4}，C={1，2}，则集合（A∩B）∪C等于（ ）
A．{2}
B．{1，2}
C．{1，2，3，4}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

已知函数f（x）=xsinx，则函数f（x） （ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数

3. 难度：中等

已知等比数列a_n的前n项和为S_n，且S₃=3a₁，则数列a_n的公比q的值为（ ）
A．-2
B．1
C．-1或2
D．1或-2

4. 难度：中等

已知向量与的夹角为60°，且||=2，||=3，则=（ ）
A．10
B．
C．7
D．49

5. 难度：中等

“a=0”是“函数f（x）=x²+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁中点，则异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种
B．56种
C．90种
D．120种

8. 难度：中等

△ABC中，AB=，AC=，BC=2，设P为线段BC上一点，且，则一定有（ ）
A．AB•AC＞PA²，AB•AC＞PB•PC
B．PA²＞AB•AC，PA²＞PB•PC
C．PB•PC＞AB•AC，PB•PC＞PA²
D．AB•AC＞PB•PC，PA²＞PB•PC

二、解答题

9. 难度：中等

函数y=的定义域为     ．

10. 难度：中等

sinx+cosx的最大值是     ．

11. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为     ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足条件则z=x-y的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知球面面积为16π，A，B，C为球面上三点，且AB=2，BC=1，AC=，则球的半径为    ；球心O到平面ABC的距离为    ．

14. 难度：中等

在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b=b*a；
②对任意a∈R，a*0=a；
③对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，
则1*2=    ；函数f（x）=x*（x＞0）的最小值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinBcosC-sinCcosB=3sinAcosB．
（I）求cosB的值；
（II）若=2，且a=，求b的值．

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}，a₂=8，a₅=512．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=log₂a_n，求数列b_n的前n项和S_n．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=．
（1）求直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角A-B₁C-B的大小．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束．
（1）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；
（2）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；
（3）求甲取得比赛胜利的概率．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：（x+1）²+y²=16上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．