2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．-2+4i
B．-2-4i
C．2+4i
D．2-4i

2. 难度：中等

设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（ ）
A．φ
B．（3，4）
C．（-2，1）
D．（4，+∞）

3. 难度：中等

已知△ABC中，cotA=-，则cosA=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．x-y-2=0
B．x+y-2=0
C．x+4y-5=0
D．x-4y+3=0

5. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

7. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a

8. 难度：中等

若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种
B．12种
C．24种
D．30种

11. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位（ ）

A．南
B．北
C．西
D．下

二、解答题

13. 难度：中等

的展开式中x³y³的系数为    ．

14. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=5a₃则=    ．

15. 难度：中等

设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于    ．

16. 难度：中等

求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

17. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，，b²=ac，求B．

18. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁．
（I）证明：AB=AC；
（II）设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

20. 难度：中等

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²+aIn（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（II）证明：．