2011年江苏省盐城市高三摸底数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，-2，3，-4}，B={x|x∈R，x²＜5}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=3-4i，|z|=    ．

3. 难度：中等

双曲线的离心率是    ．

4. 难度：中等

在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个．若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是    ．

5. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为    ．

6. 难度：中等

执行如图算法框图，若输入a=20，，则输出的值为    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，已知，则∠BAC=    ．

8. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=2，a₃+a₄+a₅=8，则a₄+a₅+a₆=    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]的单调减区间为     ．

10. 难度：中等

已知命题①：函数y=2^x-2^-x为奇函数；命题②：函数y=x-在其定义域上是增函数；命题③：“a，b∈R，若ab=0，则a=0且b=0”的逆命题；命题④：已知a，b∈R，“a＞b”是“a²＞b²”成立的充分不必要条件．上述命题中，真命题的序号有     ．（请把你认为正确命题的序号都填上）

11. 难度：中等

已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为，则其体积为    ．

12. 难度：中等

过点作圆的弦，其中长度为整数的弦共有    条．

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a_n＞0，公差d＞0，则有a₄•a₆＞a₃•a₇．类比此性质，在等比数列{b_n}中，若b_n＞0，公比q＞1，可得b₆，b₇，b₄，b₉之间的一个不等关系为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx-ax．若函数f（x）在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是______．

15. 难度：中等

在△ABC中，已知角A，B所对的边分别为a，b，且a=25，b=39，．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

17. 难度：中等

经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格f（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足（k为正常数），日销售量g（t）（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=125-|t-25|，且第25天的销售金额为13000元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（Ⅲ）该商品的日销售金额w（t）的最小值是多少？

18. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为8且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于10，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．

19. 难度：中等

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈（0，+∞），如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f（a），f（b），f（c）也是一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．
对于函数y=g（x），x∈[0，+∞），如果a，b，c是任意的非负实数，都有g（a），g（b），g（c）是一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“恒三角形函数”．
（Ⅰ）判断三个函数“f₁（x）=x，f₂（x）=，f₃（x）=3x²（定义域均为x∈（0，+∞））”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（Ⅱ）若函数，x∈[{0，+∞}）是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
（Ⅲ）如果函数h（x）是定义在（0，+∞）上的周期函数，且值域也为（0，+∞），试证明：h（x）既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．求证：DC是⊙O的切线．

22. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

23. 难度：中等

一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响．设ξ表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．