2008-2009学年广东省中山市四校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足=i，则z=（ ）
A．-2+i
B．-2-i
C．2-i
D．2+i

2. 难度：中等

的展开式中，常数项为15，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（-∞，3]∪[6，+∞）
D．[3，6]

5. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中与AD₁成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

6. 难度：中等

右图是把二进制数11111_（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞4
B．i≤4
C．i＞5
D．i＜=5

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=12，S₂₀=17，则S₃₀为（ ）
A．20
B．15
C．25
D．30

8. 难度：中等

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4个不同的根，则k的取值范围是（ ）
A．
B．（-1，0）
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为    ．

10. 难度：中等

将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有     种（用数字表示）

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的大小为    ．

12. 难度：中等

已知一个几何体的主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为     ．

13. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=3，m=a²+b²+c²，则m的最小值为    

14. 难度：中等

在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为    

15. 难度：中等

如图，圆O₁与圆O₂相交于A、B，过A作圆O₁的切线交圆O₂于C，连CB并延长交圆O₁于D，连AD，AB=2，BD=3，BC=5，则AD的长为     ．

16. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx），=（-1，0）．
（Ⅰ）若，求向量、的夹角；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值．

17. 难度：中等

某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期（×月×日）将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果，已知下表内的信息：
（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-运费）
（Ⅰ）记汽车走公路1时果园获得的毛利润为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？

18. 难度：中等

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-MAC的体积．

19. 难度：中等

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

21. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．