2005年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|x＞l}，P={x|x²＞l}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=P
B．P⊂M
C．M⊂P
D．C_UM∩P=∅

2. 难度：中等

“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

4. 难度：中等

从原点向圆x²+y²-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π

5. 难度：中等

对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
A．sin（α+β）＞sinα+sinβ
B．sin（α+β）＞cosα+cosβ
C．cos（α+β）＜sinα+sinβ
D．cos（α+β）＜cosα+cosβ

6. 难度：中等

在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC

7. 难度：中等

北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A．C¹²₁₄C⁴₁₂C⁴₈
B．C₁₄¹²A₁₂⁴A₈⁴
C．
D．C₁₄¹²A₁₂⁴C₈⁴A₃³

8. 难度：中等

函数f（x）=（ ）
A．在[0，），（，π]上递增，在[π，），（，2π]上递减
B．在[0，），[π，）上递增，在（，π]，（，2π]上递减
C．在（，π]，（，2π]上递增，在[0，），[π，）上递减
D．在[π，），（，2π]上递增，在[0，），（，π]上递减

二、解答题

9. 难度：中等

若z_l=a+2i，z₂=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

已知tan=2，则tanα的值为    ，tan（α+）的值为    ．

11. 难度：中等

展开式中的常数项是    ．

12. 难度：中等

过原点作曲线y=e^x的切线，则切点的坐标为     ，切线的斜率为     ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命题
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；②f=f（x₁）+f（x₂）；③；④．其中正确的命题序号是     ．

14. 难度：中等

已知n次多项式P_n（x）=axⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n．
如果在一种算法中，计算x^k（k=2，3，4，…，n）的值需要k-1次乘法，计算P₃（x）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P_n（x）的值共需要    次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：P（x）=a．P_n+1（x）=xP_n（x）+a_k+1（k=0，l，2，…，n-1）．利用该算法，计算P₃（x）的值共需要6次运算，计算P_n（x）的值共需要    次运算．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

16. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=2，AA₁=，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．
（Ⅰ）求证BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

17. 难度：中等

甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

18. 难度：中等

如图，直线l₁：y=kx（k＞0）与直线l₂：y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．
（Ⅰ）分别用不等式组表示W₁和W₂．
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁≠，且a_n+1=，记b_n=a_2n-1-，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求（b₁+b₂+…+b_n）

20. 难度：中等

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上单调递增，在[x^•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x^•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．