2010年北京市一模试卷及高频考点透析：导数与定积分（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

3. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域为R₊，若对于给定的正数K，定义函数，则当函数f（x）=，K=1时，（x）dx的值为（ ）
A．2ln2
B．2ln2-1
C．2ln2
D．2ln2+1

二、解答题

4. 难度：中等

若函数f（x）=-x³+cx+2（c∈R），则、f^/（-1）、f^/（0）的大小关系    ．

5. 难度：中等

函数y=x²+1（0≤x≤1）图象上点P处的切线与直线y=0，x=0，x=1围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于    ，此时点P的坐标是    ．

6. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AC=2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为     ．

7. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

8. 难度：中等

已知函数，m，a，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求z=a+b的最小值；
（Ⅲ）当a=1，时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-1．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（-∞，-]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

12. 难度：中等

已知f（x）=x³-6ax²+9a²x（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若对∀x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．

13. 难度：中等

已知函数．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．

14. 难度：中等

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．

16. 难度：中等

已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤-1，若∀x₁∈[0，1]，总存在，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域为（1，+∞）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞1）上的最小值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
（i）求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（ii）求函数G（x）=[f'（x）+（m+2）x+m]e^-x（m∈R）的单调区间．