1985年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′-ABD的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

的（ ）
A．必要条件
B．充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要的条件

3. 难度：中等

在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
A．y=x²（x∈R）
B．y=|sinx|（x∈R）
C．y=cos2x（x∈R）
D．y=e^sin2x（x∈R）

4. 难度：中等

极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
A．96个
B．78个
C．72个
D．64个

二、解答题

6. 难度：中等

求方程解集．

7. 难度：中等

设|a|≤1，求arccosa+arccos（-a）的值．

8. 难度：中等

求曲线y²=-16x+64的焦点．

9. 难度：中等

设（3x-1）⁶=a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a，求a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a的值．

10. 难度：中等

设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x²）的定义域．

11. 难度：中等

解方程log₄（3-x）+log_0.25（3+x）=log₄（1-x）+log_0.25（2x+1）．

12. 难度：中等

解不等式

13. 难度：中等

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

14. 难度：中等

设O为复平面的原点，Z₁和Z₂为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z₁和Z₂所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ；
（2）△OZ₁Z₂的面积为定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所对应的复数的模的最小值．

15. 难度：中等

已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

16. 难度：中等

设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明

17. 难度：中等

设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m是整数}，
C={（x，y）|x²+y²≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

18. 难度：中等

已知曲线y=x³-6x²+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．