2011年高三数学复习（第8章 圆锥曲线）：8.2 双曲线（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

实轴长是2a的双曲线，其焦点为F₁，F₂，过F₁作直线交双曲线同一支于A、B两点，若|AB|=m，则△ABF₂的周长是（ ）
A．4a
B．4a-m
C．4a+2m
D．4a-2m

2. 难度：中等

如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（ ）
A．10
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“ab＜0”是“方程ax²+by²=c表示双曲线”的（ ）
A．必要条件但不是充分条件
B．充分条件但不是必要条件
C．充分必要条件
D．既不是充分条件，又不是必要条件

4. 难度：中等

设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁，e₂应满足的关系是（ ）
A．e₁²+e₂²=1
B．e₁²-e₂²=1
C．=1
D．=1

6. 难度：中等

若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）∪（2，5）
B．（-2，5）
C．（-∞，-2）∪（5，+∞）
D．（-2，2）∪（5，+∞）

7. 难度：中等

若椭圆和双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|等于（ ）
A．m-a
B．
C．m²-a²
D．

二、解答题

8. 难度：中等

以坐标轴为对称轴的等边双曲线，其一条准线是y=，则此双曲线方程是    ．

9. 难度：中等

若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线离心率为    ．

10. 难度：中等

已知平面内有一长度为4的定线段AB，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值是    ．

11. 难度：中等

若双曲线的两渐近线的夹角为60°，则它的离心率为    ．

12. 难度：中等

设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x²+9y²=225，求双曲线方程．

13. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程为，两准线的距离为，求此双曲线方程．

14. 难度：中等

双曲线kx²-y²=1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程．

15. 难度：中等

在双曲线的一支上不同的三点A（x₁，y₁）、B（，6）、C（x₂，y₂）与焦点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₂；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标．

16. 难度：中等

已知双曲线的左右两个焦点分别是F₁，F₂，P是它左支上的一点，P到左准线的距离为d．
（1）若y=x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由；
（2）在已知双曲线的左支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列的P点存在时，求离心率e的取值范围．

17. 难度：中等

求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）经过两点（），（）；
（2）双曲线过点（3，9），离心率．

18. 难度：中等

求与双曲线有共同渐近线，并且经过点（-3，）的双曲线方程．

19. 难度：中等

已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．

20. 难度：中等

设P是双曲线右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证．

21. 难度：中等

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率c的取值范围．