2010年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若x²+1=0（x∈C），则x=（ ）
A．±1
B．i
C．-i
D．±i

2. 难度：中等

已知A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则集合A∩B的子集的个数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9

3. 难度：中等

命题p：lgx＞lgy是命题q：的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

某地拟建一垃圾处理厂，根据调查，该地区垃圾的年增长量为b，2009年的垃圾量为a，则从2009年到2014年的垃圾总量为（ ）
A．ab⁵
B．a+5b
C．6a+15b
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

6. 难度：中等

已知两个统计案例如下：
①为了探究患慢性支气管炎与吸烟关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表：

②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表：
，则对这些数据的处理所应用的统计方法是（ ）
A．①回归分析②取平均值
B．①独立性检验②回归分析
C．①回归分析②独立性检验
D．①独立性检验②取平均值

7. 难度：中等

若椭圆过抛物线y²=8x的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是a_n与1的等差中项，则a_n等于（ ）
A．1
B．-1
C．（-1）ⁿ
D．（-1）^n-1

9. 难度：中等

把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量，则向量的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体外接球的表面积为（ ）

A．8π
B．12π
C．14π
D．56π

11. 难度：中等

设奇函数f（x）在[-1，1]上是减函数，且f（-1）=2，若存在x∈[-1，1]使不等式f（x）≤x+a成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．[3，+∞）
C．[1，+∞）
D．[-3，+∞）

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²+1，在x=1处有极值为11，则f（-1）=（ ）
A．3
B．7或21
C．31
D．3或31

二、解答题

13. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若，则b=    ．

14. 难度：中等

若实数x，y满足，则z=-y-x的最小值为    ．

15. 难度：中等

在平面内与点C（0，0）距离为1，且与点B（-4，-3）距离为6的直线共有    条．

16. 难度：中等

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[5.1]=5、则下列对函数f（x）=[x]所具有的性质说法正确的有    ．填上正确的编号）①定义域是R，值域是Z；②若x₁≤x₂，则[x₁]≤[x₂]；③[n+x]=n+[x]，其中n∈Z；④[x]≤x＜[x]+1．

17. 难度：中等

设函数，当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）作出y=f（x）在x∈[0，π]上的图象．（不要求书写作图过程）

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分别为PB，AB的中点，设AC和BD相交于点O
（Ⅰ）证明：OM∥底面PAD；
（Ⅱ）若DF⊥PA且交PA于F点，证明DF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积

19. 难度：中等

某学校为了了解高三学生月考的数学成绩，从甲、乙两班各抽取10名学生，并统计他们的成绩（成绩均为整数且满分为100分），成绩如下：
甲班：97，81，91，80，89，79，92，83，85，93
乙班：60，80，87，77，96，64，76，60，84，96
（Ⅰ）根据抽取结果填写茎叶图，并根据所填写的茎叶图，对甲、乙两班的成绩做对比，写出两个统计结论；
（Ⅱ）若可计算得抽取甲班的10名学生的数学成绩的平均值为，将10名甲班学生的数学成绩依次输入，按程序框图进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；
（Ⅲ）学校规定成绩在90分以上为优秀，现准备从甲、乙两班所抽取的学生中选取两名成绩为优秀的学生参加数学竞赛，求至少有一名乙班学生参加数学竞赛的概率．

20. 难度：中等

已知P是圆x²+y²=9，上任意一点，由P点向x轴做垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（0，-2）的直线l与曲线C相交于A、B两点，试问在直线上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形，若存在求出N点坐标，若不存在说明理由．

21. 难度：中等

给定两个函数解决如下问题：
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x的方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，求m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，A、B是两圆O₁、O₂的交点，AC是小圆O₁的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆O₂的交点，已知AC=2，BE=5，且BC=AD．
（Ⅰ）求DE的长；
（Ⅱ）求圆O₂的面积．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为为参数，α为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+17=0．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）当时，设P（1，0），若直线l与曲线C有两个交点是A，B，求|PA||PB|的值；并求|AB|的长．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．
（Ⅰ）试求f（x）的值域；
（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．