2010年上海市卢湾区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A=[1，5），B=（-∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是     ．

2. 难度：中等

函数y=arcsinx（0≤x≤1）的值域为    ．

3. 难度：中等

若，则tanα的值等于     ．

4. 难度：中等

若函数f（x）=2^x，则方程f（3x）=2^1-2x的解x=    ．

5. 难度：中等

函数的最小正周期T=    ．

6. 难度：中等

若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为    ．（结果保留π）

7. 难度：中等

若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则=    ．

8. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心与点D（1，π）的距离为     ．

9. 难度：中等

有一种彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%、如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益为    元．

10. 难度：中等

如图，由编号1，2，…，n，…（n∈N^*且n≥3）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V为    （结果保留π）．

11. 难度：中等

某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d（单位：千米）．若样本数据分组为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为    人．

12. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．若向量，，则满足不等式的m的取值范围为     ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点A_n（n，n+3），若用f（n）表示线段OA_n上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=    ．

14. 难度：中等

某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差S²如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（    ）．

二、选择题

15. 难度：中等

式子-2C_n¹+4C_n²-8C_n³+…+（-2）ⁿC_nⁿ等于（ ）
A．（-1）ⁿ
B．（-1）ⁿ-1
C．3ⁿ
D．3ⁿ-1

16. 难度：中等

关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

17. 难度：中等

若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f^-1（x）（与f（x）不同），，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（ ）
A．F（x）是奇函数非偶函数
B．F（x）是偶函数非奇函数
C．F（x）既是奇函数又是偶函数
D．F（x）既非奇函数又非偶函数

18. 难度：中等

已知曲线C：，下列叙述中错误的是（ ）
A．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点
C．曲线C关于直线y=-x对称
D．若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为曲线C上任意两点，则有

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于x的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0有两个虚根x₁，x₂，且（i为虚数单位），|x₁-x₂|=1，求实数b的值、

20. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求点D到平面A₁BC₁的距离．

21. 难度：中等

如图，反比例函数y=f（x）（x＞0）的图象过点A（1，4）和B（4，1），点P（x，y）为该函数图象上一动点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．记四边形OCPD（O为坐标原点）与三角形OAB的公共部分面积为S．
（1）求S关于x的表达式；
（2）求S的最大值及此时x的值．

22. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0），其焦距为2c，若（≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆C：（a＞b＞0）中，a、b、c成等比数列．
（2）黄金椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F₂（c，0），P为椭圆C上的任意一点．是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F₁、F₂．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

23. 难度：中等

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a_n}的一个子数列．设数列{a_n}是一个首项为a₁、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．
（1）若a₁，a₂，a₅成等比数列，求其公比q．
（2）若a₁=7d，从数列{a_n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a_n}的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若a₁=1，从数列{a_n}中取出第1项、第m（m≥2）项（设a_m=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a_n}的无穷等比子数列，请说明理由．