2010年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x∈R|y=lgx}，N={y∈R|y=x²+1}集合M∩N=（ ）
A．（0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（-∞，+∞）
D．（0，1]

2. 难度：中等

已知某几何体的三视如图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．四棱柱
D．四棱台

3. 难度：中等

已知复数和复数，则复数z₁•z₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=80，则a₇-a₈的值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

5. 难度：中等

平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

6. 难度：中等

设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当=且|FA|+|FB|+|FC|=3时，此抛物线的方程为（ ）
A．y²=2
B．y²=4
C．y²=6
D．y²=8

7. 难度：中等

在可行域内任取一点（x，y），如果执行如图的程序框图，那么输出数对（x，y）的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，动点M（x，y）满足条件，动点Q在曲线上，则|MQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知平面向量的夹角为，又，则点P的集合所表示的图形面积为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

10. 难度：中等

给出下列四个命题：
①“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③函数是偶函数；
④若对∀x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则4是该函数的一个周期，其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的不重复的六位数中，不出现“135”与“24”的六位数的个数为（ ）
A．582
B．504
C．490
D．486

12. 难度：中等

已知当x∈（-，π）时，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，求实数a的取值范围（ ）
A．
B．[-1，0]
C．
D．（，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

（2x³-）⁷的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

抛掷红、蓝两颗均匀的骰子，已知点数不同，则红色骰子的点数比蓝色骰子的点数恰好多两点的概率为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-1，直线l₁：x=1，l₂：y=e^t-1（t为常数，且0≤t≤1），直线l₁，l₂与函数f（x）的图象围成的封闭图形，以及直线l₂，y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中阴影所示．当t变化时阴影部分的面积的最小值为    ．

17. 难度：中等

某选手进行n次射击训练，每次击中目标的概率为P，且每次击中目标与否是相互独立的，X记为击中目标的次数，若随机变量X的数学期望EX=3，方差
（I）求n，P的值；
（II）若这n次射击有3次或3次以上未击中目标，则需继续训练，求该选手需要继续训练的概率．

18. 难度：中等

在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续三个正整数，且tan∠C=cot∠BAM．
（I）判断△ABC的形状；
（II）求∠BAC的余弦值．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A-PC-B的余弦值．

20. 难度：中等

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

21. 难度：中等

如图，已知曲线．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为，求证

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．
（I）求证：DE²=DB•DA．
（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

24. 难度：中等

已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，试求实数x的取值范围．