2010年高三备考数学好题系列（03）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x²-ax+3）（a＞0且a≠1），满足对任意的x₁．x₂，当x₁＜x₂≤时，f（x₁）-f（x₂）＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（1，3）
B．（1，3）
C．（0.1）∪（1，2）
D．（1，2）

2. 难度：中等

设tanα、tanβ是方程的两根，且，，
则α+β的值为：（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

曲线S：y=3x-x³在点A（2，-2）处的切线方程为（ ）
A．y=-2
B．y=2
C．9x+y-16=0
D．9x+y-16=0或y=-2

4. 难度：中等

如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．5
C．8.5
D．

5. 难度：中等

已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD．DA和AB上的点P₂．P₃和P₄（入射角等于反射角），设P₄坐标为（x₄，0），若1＜x₄＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

6. 难度：中等

对任意θ∈（0，）都有（ ）
A．sin（sinθ）＜cosθ＜cos（cosθ）
B．sin（sinθ）＞cosθ＞cos（cosθ）
C．sin（cosθ）＜cos（sinθ）＜cosθ
D．sin（cosθ）＜cosθ＜cos（sinθ）

二、解答题

7. 难度：中等

集合M={x|-1≤10＜-，x∈N}的真子集的个数是     ．

8. 难度：中等

椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=（1-2a）x³+（9a-4）x²+（5-12a）x+4a（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为2，求a的取值范围．

11. 难度：中等

已知：在函数的图象上，f（x）=mx³-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（I）求m，n的值；
（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．