2009年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数z=对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第在象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={y||y|≤2}，集合B={y|y=2^x}，那么集合A∩（C_UB）等于（ ）
A．{y|-2≤y≤0}
B．{y|0≤y≤2}
C．{y|y≥-2}
D．{y|y≤0}

3. 难度：中等

已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（ ）
A．（x-2）²+y²=4
B．x²+（y-2）²=2
C．（x-2）²+y²=2
D．x²+（y-2）²=4

5. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象与函数y=x²（x≥0）的图象关于直线y=x对称，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．函数y=f（x）有最小值
B．函数y=f（x）过点（4，2）
C．函数y=f（x）是偶函数
D．函数y=f（x）在其定义域上是增函数

6. 难度：中等

（中数量积）在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC，已知|OA|=4，|AB|=3，则•的值为（ ）
A．0
B．7
C．25
D．-7

7. 难度：中等

北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有（ ）
A．144
B．72
C．36
D．18

8. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠0））；
②g（x）≠0；
若，则使log_ax＞1成立的x的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（2，+∞）
B．（0，）
C．（-∞，）∪（2，+∞）
D．（2，+∞）

二、解答题

9. 难度：中等

若（x+2）ⁿ展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是    ．

10. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，a₄=，则=    ．

11. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，若点P到A₁，A，B，D这四点的距离相等，则PA=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数，则它们的图象经过平移后能够重合的是函数    与函数    ．（注：填上你认为正确的两个函数即可，不必考虑所有可能的情形）

14. 难度：中等

对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点．函数y=x+2的零点是    ；若函数y=f（x）和g（x）均是定义在R上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：

则当x=    时，函数f（g（x））在区间（x，x+1）上必有零点．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值与最小值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，且当时，函数取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=log₂a_2n-1，求b₂₁的值

17. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，．
（Ⅰ）求BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明MN⊥BC₁；
（Ⅲ）求二面角C-C₁B-M的大小．

18. 难度：中等

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目．每名学生可以选择参加一门选修，参加两门选修或不参加选修．已知有60%的学生参加过《几何证明选讲》的选修，有75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修，假设每个人对选修科目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（Ⅰ）任选一名学生，求该生参加过模块选修的概率；
（Ⅱ）任选3名学生，记ξ为3人中参加过模块选修的人数，求ξ的分布列和期望．

19. 难度：中等

已知F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为D，线段DF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F₁作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设=λ，若λ∈[2，3]，求的取值范围．

20. 难度：中等

函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当x∈[-2，-1]时，f（x）=t（x+2）³-t（x+2）（t∈R），记函数y=f（x）的图象在处的切线为l，．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）点列B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），…，B_n（b_n，n+1）在l上，A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0）依次为x轴上的点，如图，当n∈N^*时，点A_n，B_n，A_n+1构成以A_nA_n+1为底边的等腰三角形．若x₁=a（0＜a＜1），求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a使得数列{x_n}是等差数列？如果存在，写出a的一个值；如果不存在，请说明理由．