2010年全国高考数学模拟试卷4（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知实数b是关于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的解，则a+b的值为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．9

2. 难度：中等

不等式组表示的平面区域是（ ）
A．矩形
B．三角形
C．直角梯形
D．等腰梯形

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点），则S₂₀₀₉=（ ）
A．2009
B．2010
C．-2009
D．-2010

4. 难度：中等

设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若P为双曲线的右支上一点，且P到左焦点F₁与到右焦点F₂的距离之比为4：3，则P点的横坐标x等于（ ）
A．2
B．4
C．4、5
D．5

6. 难度：中等

已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m+n＞0
D．m+n＜0

7. 难度：中等

曲线y=Msin（2ωx+φ）+N（M＞0，N＞0，ω＞0）在区间上截直线y=4，与y=-2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是（ ）
A．N=1，M＞3
B．N=1，M≤3
C．
D．

8. 难度：中等

函数在区间[-1，4]上有反函数，则a的范围为是（ ）
A．（-∞，+∞）
B．[2，+∞）
C．（-16，2）
D．（-∞，-16]∪[2，+∞）

9. 难度：中等

用1到9这9个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用1到5这5个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

△ABC的BC边在平面α内，A在α上的射影为A′，若∠BAC＞∠BA′C，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不是

12. 难度：中等

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

13. 难度：中等

函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

14. 难度：中等

已知函数y=ax²+b|x|+c（a≠0）在其定义域内有四个单调区间，且a，b，c∈{-2，-1，0，1，2，3，4}，在这些函数中，设随机变量ξ=“|a-b|的取值”，则ξ的数学期望Eξ为（ ）
A．4
B．
C．
D．

15. 难度：中等

若多项式x³+x¹⁰=a+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，则a₉=（ ）
A．9
B．10
C．-9
D．-10

16. 难度：中等

对数列{x_n}，满足，；对函数f（x）在（-2，2）上有意义，，且满足x，y，z∈（-2，2）时，有成立，则f（x_n）的表示式为（ ）
A．-2ⁿ
B．3ⁿ
C．-2×3ⁿ
D．2×3ⁿ

17. 难度：中等

对数列{x_n}，满足，；对函数f（x）在（-2，2）上有意义，，且满足x，y∈（-2，2）时，有成立，则数列{f（x_n）}是（ ）
A．以-4为首项以2为公差的等差数列
B．以-4为首项以2为公比的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列

二、解答题

18. 难度：中等

点P在焦点为F₁（0，-1），F₂（0，1），一条准线为y=4的椭圆上，且，tan∠F₁PF₂    ．

19. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的一条弦AB过焦点F，且|AF|=1，|BF|=2，则抛物线方程为    ．

20. 难度：中等

若f（x）=在（-1，+∞）上满足对任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），则a的取值范围是    ．

21. 难度：中等

若函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x）•f（x+2）=-1，f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

22. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A′B′C′D′各顶点都在表面积为24π的球面上，且底边AB的长为2，则顶点A到平面A'BD的距离为    ．

23. 难度：中等

已知等差数列{a_n}公差为d（d≠0），前n项和为S_n；表示{a_n}的前n项的平均数，且数列的前n项和为T_n，数列的前n项和为A_n，则    ．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：，，则对任意正整数n，的概率为    ．

25. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，A=2B，．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为，求b的值．

26. 难度：中等

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
（1）求ξ的分布列和ξ的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．

27. 难度：中等

某射击手射击1次，击中目标的概率为0.8，他连续射击5次，且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算（结果保留到小数点后第2位）：
（1）5次射击中恰有2次击中的概率；
（2）5次射击中至少有2次击中的概率；
（3）5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中的概率．

28. 难度：中等

函数既有极大值又有极小值，求实数m的取值范围．若f（x）的极大值为1，求m的值．

29. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M为AA₁上的点，且AM=2MA₁，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

30. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

31. 难度：中等

设S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求的值；
（2）若a₅=3，求a_n及S_n的表达式．

32. 难度：中等

已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．
（1）求A，B，C三点到F距离之和；
（2）若，求椭圆的方程和直线BC的方程．