2011年湖北省黄石市大冶一中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若集合A，B满足A∩B=A，则A⊆B；
②给定命题p，q，若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③设a，b，m∈R，若a＜b，则am²＜bm²；
④若直线l₁：ax+y+1=0与直线l₂：x-y+1=0垂直，则a=1．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

设平面向量=（1，2），=（-2，y），若∥，则|3+|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

的展开式中，常数项为15，则n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（ ）
A．12，2
B．12，3
C．24，2
D．24，3

6. 难度：中等

根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为20%，淄博为15%，两地同时下雨为6%，假设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为（ ）
A．6%
B．15%
C．30%
D．40%

7. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）

A．6
B．8
C．
D．12

9. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

10. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x（x＞0）的反函数为g（x），且有g（a）g（b）=8，若a＞0，b＞0，则+的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．3
D．2

11. 难度：中等

直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（ ）
A．+1
B．2
C．
D．-1

12. 难度：中等

已知方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两个实根x₁，x₂，满足0＜x₁＜1＜x₂，则的取值范围是（ ）
A．（-2，0）
B．（0，）
C．
D．（，0）

二、解答题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足，若，则a₂₀₀₄的值为    ．

15. 难度：中等

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是    ．

16. 难度：中等

过双曲线=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为    ．

17. 难度：中等

已知，，其中ω＞0，若函数，且函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且，f（A）=1，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，定义所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，求数列{c_n}的变号数．

21. 难度：中等

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：．

22. 难度：中等

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．