2009-2010学年北京市东城区普通校高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知直线l₁：（m+2）x-（m-2）y+2=0，直线l₂：3x+my-1=0，且l₁⊥l₂，则m等于（ ）
A．-1
B．6或-1
C．-6
D．-6或1

3. 难度：中等

现有程序框图如图，如果输入三个实数5，6，10，则输出的结果为（ ）

A．10
B．7
C．6
D．5

4. 难度：中等

命题p：∃实数x∈集合A，满足x²-2x-3＜0，命题q：∀实数x∈集合A，满足x²-2x-3＜0，则命题p是命题q为真的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

5. 难度：中等

要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（ ）
A．50
B．
C．
D．100

6. 难度：中等

若想将函数y=sinx+cosx的图象进行平移，得到函数y=sinx-cosx的图象，下面可行的变换步骤是（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

7. 难度：中等

已知函数，则满足f（a）＞1的a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）
B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C．（-1，2）
D．（-∞，-1）∪（0，2）

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²+4x-5，x∈[t，t+2]，此函数f（x）的最大值形成了函数y=g（t），则函数y=g（t）的最小值为（ ）
A．-7
B．-9
C．-5
D．-3

二、解答题

9. 难度：中等

计算：=    ．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，S₃=26，则q=    ．

11. 难度：中等

在区域内随机撒一粒黄豆，落在区域内的频率是    ．

12. 难度：中等

若|a|=1，|b|=2，c=a-b，（1）若向量a与b方向相反，则|c|=    ；（2）若c⊥a，则向量a与b的夹角为    ．

13. 难度：中等

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么可求得圆心的横坐标为    ，直线被圆所截得的弦MN的长度为    ．

14. 难度：中等

如题图，模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．请写出一种可行的选择方案：    ，    ，    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sin²B+sin²C=2sin²A，且a=1，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

为了了解某校某年级学生的体能情况，在该校此年级抽取了部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的取值分别是0.004，0.012，0.016．又知第一小组的频数为5．
（1）求第四小组的频率；
（2）参加这次测试的学生总人数是多少？
（3）用这批数据来估计该校该年级总体
跳绳成绩，从该年级随机抽取一名学生，跳绳成绩在区间[100，150）内的概率为多少？

17. 难度：中等

如图四棱锥P-ABCD，它的正视图如图（1），是等腰三角形，
侧视图如图（2），是等腰直角三角形，俯视图如图（3），是正方形ABCD．
各长度如图所示．
（I）求证：平面ADP⊥平面ABP；
（II）设E为AB中点，试在线段PE上确定一点M，使得OM∥平面PDC，并证明；
（III）求四棱锥P-ABCD的体积．

18. 难度：中等

设函数，已知此函数的图象在x=2处的切线的斜率为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[2，4]，求函数的值域；
（3）设，函数g（x）=x²-8ax-2a，x∈[2，4]．若对于任意的x₁∈[2，4]，总存在x∈[2，4]使得g（x）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，l交椭圆于A、B两个不同点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

20. 难度：中等

现有m（m≥2）个不同的数P₁、P₂、P₃、…、P_n．将他们按一定顺序排列成一列．对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序数为a_n．如排列2、1的逆序数a₁=1，排列3、2、1的逆序数a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令，证明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．