2010年湖南省长沙市长沙县实验中学高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7}，集合A={3，5}，B={1，3，7}，则A∪（∁_UB）等于（ ）
A．{5}
B．{3，5}
C．{1，5，7}
D．{1，3，5，7}

3. 难度：中等

给出命题：“若α=，则tanα=1”．在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

4. 难度：中等

某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ）

A．1000，0.50
B．800，0.50
C．800，0.60
D．1000，0.60

5. 难度：中等

阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（ ）

A．9
B．36
C．100
D．225

6. 难度：中等

一个几何体的三视图为右图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．10
B．30
C．60
D．45

7. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线交于A、B两点，点M为双曲线的右顶点，若△MAB为直角三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂|x-1||，且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为-1，则a+b的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

二、解答题

9. 难度：中等

设向量，，若向量，则实数λ的值为     ．

10. 难度：中等

配制某种饮料，需要加入某种配料．经验表明，加入量超过130ml肯定不好，用130ml的锥形量杯加入量，该量杯的量程分为13格，每格代表10ml，若用分数法安排各试验点的测试，则第一次和第二次的试点是    ml和     ml．

11. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=60°，，BC=2，则AC=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x+log₂x，则f（x）在内的零点个数是   

13. 难度：中等

设a∈[0，2]，则关于x的方程x²+2ax+1=0在R上有实数根的概率为     ．

14. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为为参数），直线l的极坐标方程为，设点A为曲线C上任意一点，点B为直线l上任意一点，则A，B两点间的距离的最大值是    ．

15. 难度：中等

设n阶方阵
任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3时，则S₃=    ，若n=k时，则S_k=    ．

16. 难度：中等

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．
（1）求角A；（2）若，求的值．

17. 难度：中等

已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并号顺序平均分成10组，按各组内抽按编取的编号依次增加5进行系统抽样．
（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
（3）在（2）的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工，求被抽取到两名职工体重之和大于等于154公斤的概率．

18. 难度：中等

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）当为何值时，平面DEF⊥平面BEF？并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知f（x+1）=x²-4，等差数列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-，a₃=f（x）
（1）求x的值和数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求a₂+a₅+a₈+…+a₂₆的值．

20. 难度：中等

已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b²-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．