2010年东北育才、大连育明高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为纯虚数，则实数b=（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

2. 难度：中等

当x，y满足时，则t=x+y的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5

3. 难度：中等

已知向量m、n满足|m|=3，|n|=4，且（m+kn）⊥（m-kn），那么实数k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知长方体的长、宽、高分别为2、3、6，则其外接球的半径为（ ）
A．7
B．
C．
D．3

5. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增
B．函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期为2π
C．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形
D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形

6. 难度：中等

某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A．24
B．120
C．240
D．720

7. 难度：中等

设函数若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-2）∪（0，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

8. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为（ ）m³．．
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知椭圆C：，直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，4）
B．[1，+∞）
C．[1，4）∪（4，+∞）
D．（4，+∞）

10. 难度：中等

已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有（ ）
A．120种
B．81种
C．72种
D．27种

11. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是双曲线-=1（a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．+1

12. 难度：中等

下列说法：
①命题“”的否定是“∀x∈R，2^x＞0”；
②关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
④（1+kx²）¹⁰（k为正整数）的展开式中，x¹⁶的系数小于90，则k的值为2．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

某学校高三年级学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成5组；第一组为[13，14），第二组为[14，15）…
第五组为[17，18]，绘制频率分布直方图（如图），其中成绩小于15秒的人数为150，则成绩大于或等于15秒并且小于17秒的人数是     ．

14. 难度：中等

为了得到函数的图象，需将函数y=2sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为    ．

15. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=    ．

16. 难度：中等

已知实数a，b满足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=18，等差数列{b_n}中，b₁=2，且a₁+a₂+a₃=b₁+b₂+b₃+b₄＞20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE，F为CD的中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正切值．

19. 难度：中等

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有．

21. 难度：中等

已知点Q是抛物线C₁：y²=2px（P＞0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C₂：y=2x²相切的两条直线分别交抛物线C₁于点A，B．
（Ⅰ）若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长；
（Ⅱ）判断直线AB与抛物线C₂的位置关系，并说明理由．

22. 难度：中等

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E．
求证：（Ⅰ）AB•AC=AD•BC；
（Ⅱ）AD³=BC•BE•CF

23. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B四两点，原点为O，求△ABO的面积．

24. 难度：中等

若关于x的不等式|2x-4|+|4x-2|＞a恒成立，求a的取值范围．