2010年北京市顺义区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²＜1}，集合B={x|log₂x＜0}，则A∩B=（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（-1，1）
D．（-∞，1）

2. 难度：中等

已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（3cosα，2），=（3，4sinα），且∥，则锐角α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x²+y²=1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件

5. 难度：中等

阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生被选中的方法数是（ ）
A．10
B．20
C．25
D．30

7. 难度：中等

已知函数，则不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0的解集是（ ）
A．
B．
C．（-∞，-1）∪（3，+∞）
D．（-1，3）

8. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个实数a、b，则函数在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

一个实心铅质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为1的圆，将8个这样的几何体加热熔解后，浇铸成一个实心球，则该球的表面积为    ．

10. 难度：中等

若的展开式共有6项，并且x²项的系数为10，则n=    ，实数a=    ．

11. 难度：中等

如图：PA切圆O于A，割线PBC经过圆心O，将OA绕点O顺时针旋转60°到D，设OB=PB=1，则△POD的面积等于    ．

12. 难度：中等

设曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（ρ＞0），直线l的参数方程为（t为参数），则曲线C与直线l交点的直角坐标为     ．

13. 难度：中等

已知双曲线，直线l过其左焦点F₁，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F₂为双曲线的右焦点，△ABF₂的周长为20，则此双曲线的离心率e=    ．

14. 难度：中等

如图，n²（n≥4）个正数排成n行n列方阵：符号a_ij（1≤i，j≤n）表示位于第i行第j列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q．若，a₂₄=1，，则q=    ，a_ij=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）f（-x），求函数g（x）的最小正周期和最大值；

16. 难度：中等

甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下：

（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及数学期望EX．

17. 难度：中等

已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=60°，BC、PD的中点分别为E、F．
（Ⅰ）求证BC⊥PE；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF||平面PCG？若存在指出G在AB上位置并给以证明，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^-x（a+ax-x²）（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）判断f（x）在R上的单调性．

19. 难度：中等

已知两点M（0，1）N（0，-1），平面上动点P（x，y）满足．
（Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y轴上两点，过Q作直线与曲线C交于A、B两点，试证：直线RA、RB与y轴所成的锐角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的条件中，若m＜0，直线AB的斜率为1，求△RAB面积的最大值．

20. 难度：中等

在数列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=6，b₁=4，且b_n、a_n、b_n+1成等比数列，a_n、b_n+1、a_n+1成等差数列，（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄及b₂、b₃、b₄，由此猜想{a_n}、{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．