2010年江苏省高三数学中等生强化练习（3）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若A={2，3，4}，B={x|x=n×m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为    ．

2. 难度：中等

已知命题：“∃x∈[1，2]，使x²+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

复数z=，则|z|=    ．

4. 难度：中等

若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB-sinA，sinB-cosA）在第    象限．

5. 难度：中等

若f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为    ．

7. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输入x=8，则输出k=    ．

8. 难度：中等

已知函数，若f（x）≥1，则x的取值范围为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则∠C的大小应为    ．

10. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥a，n∥β且a∥β，则m∥n；②若m⊥a，n⊥β且a⊥β，则m⊥n；
③若m⊥a，n∥β且a∥β，则m⊥n；④若m∥a，n⊥β且a⊥β，则m∥n．
其中真命题的序号是    ．

11. 难度：中等

若k∈Z，则椭圆的离心率是    ．

12. 难度：中等

设x、y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（1，7），=（5，1），设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是     ．

14. 难度：中等

在实数数列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1||，…，|a_n|=|a_n-1-1|则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

16. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有200m²的坝面渗水．经测算知渗水现象正在以每天4m²的速度扩散．当地政府积极组织工人进行抢修．已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m²，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水1m²的损失为250元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式；
（Ⅱ）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．