1987年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（ ）
A．X
B．T
C．φ
D．S

2. 难度：中等

设椭圆方程为，令c²=a²-b²，那么它的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设a、b是满足ab＜0的实数，那么（ ）
A．|a+b|＞|a-b|
B．|a+b|＜|a-b|
C．|a-b|＜||a|-|b||
D．|a-b|＜|a|+|b|

4. 难度：中等

已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交
那么（ ）
A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件

5. 难度：中等

函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log₂，则f（x）在区间（1，2）上是（ ）
A．减函数，且f（x）＜0
B．增函数，且f（x）＜0
C．减函数，且f（x）＞0
D．增函数，且f（x）＞0

6. 难度：中等

要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平行移动
B．向右平行移动
C．向左平行移动
D．向右平行移动

7. 难度：中等

极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（ ）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线

8. 难度：中等

函数y=arccos（cosx）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

求函数的周期．

10. 难度：中等

已知方程表示双曲线，求λ的范围．

11. 难度：中等

若（1+x）ⁿ的展开式中，x³的系数等于x的系数的7倍，求n．

12. 难度：中等

求极限

13. 难度：中等

在抛物线y=4x²上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短．

14. 难度：中等

由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．

15. 难度：中等

一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．

16. 难度：中等

求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

17. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P-ABC的体积V=L²h．

18. 难度：中等

设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

设复数z₁和z₂满足关系式，其中A为不等于0的复数．
证明：（1）|z₁+A||z₂+A|=|A|²；（2）

20. 难度：中等

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的关系式；
（2）写出用n和b表示a_n的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限．

21. 难度：中等

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

22. 难度：中等

（1）求极限．
（2）设y=xln（1+x²），求y'