2010年北京市怀柔区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2≤x＜3}，B={x|y=lg（x+1）}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|-1＜x＜3}
B．{x|x≤-1或x＞3}
C．{x|-2≤x＜-1}
D．{x|1＜x＜3}

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得x²＜1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有x²＜1
B．∀x∈R，都有x≤-1或x≥1
C．∃x∈R，使得x²≥1
D．∃x∈R，使得x²＞1

3. 难度：中等

设x、y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[2，6]
B．[2，5]
C．[3，6]
D．[3，5]

4. 难度：中等

已知a是实数，则函数f（x）=sinax的导函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某程序的框图如图，若，b=2cos²28°-1，c=2sin16°cos16°．则执行该程序后输出的结果是（ ）

A．a
B．b
C．c
D．以上结果都不是

7. 难度：中等

在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

点P（x，y）是圆x²+（y-1）²=1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

设A（1，2），B（3，-1），C（3，4），则=    ．

11. 难度：中等

二项式（1-2x）⁷的展开式中，含x³项的系数为    ．

12. 难度：中等

已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则线段PB的长为    ．

13. 难度：中等

已知点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|的长为    ．

14. 难度：中等

线段C：y=x+2（0≤x≤2）两端分别为M、N，且NA⊥x轴于点A．把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使与x轴平行的边一个端点在C上，另一端点在C的下方（如图），设这n个矩形的面积之和为S_n，则S_n=    ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，．
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

16. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（II）求二面角M-AN-B的余弦值．

17. 难度：中等

上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的
世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如表所示．

分组 （单位：岁）	频数	频率
[20，25）	5	0.050
[25，30）	①	0.200
[30，35）	35	②
[35，40）	30	0.300
[40，45]	10	0.100
合计	100	1.00

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30，35）岁的人数（结果取整数）；
（Ⅱ）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．

19. 难度：中等

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

20. 难度：中等

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．