2007年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={-1，0，1，2，4}，集合∁_UM={-1，1}，则集合M等于（ ）
A．{0，2}
B．{0，4}
C．{2，4}
D．{0，2，4}

2. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和（n∈N^*），则a₄等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知非零向量“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数是f^-1（x）=2+log_a（1-x）（a＞0且a≠1），则函数y=f（x）的图象必过定点（ ）
A．（2，0）
B．（-2，0）
C．（0，2）
D．（0，-2）

5. 难度：中等

已知函数在（-∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

6. 难度：中等

双曲线tx²-y²-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（ ）
A．360种
B．4320种
C．720种
D．2160种

8. 难度：中等

已知以下函数：（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3e^cosx；（3）f（x）=3e^x；（4）f（x）=3cosx．
其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一一个自变量x₂使成立的函数是（ ）
A．（1）（2）（4）
B．（2）（3）
C．（3）
D．（4）

二、解答题

9. 难度：中等

tan390°=    ．

10. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为     ．

11. 难度：中等

已知的展开式的第四项是5，则x=    ．

12. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为     ．

13. 难度：中等

湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为    cm，表面积是    ．

14. 难度：中等

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若数列{a_n}的通项公式（n∈N^*），则{△a_n}的通项公式△a_n=    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（3）求f（x）的单调区间．

16. 难度：中等

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列的前n项T_n．

17. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为BD₁的中点，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
（1）求证：BD₁⊥平面MNP；
（2）求异面直线B₁O与C₁M所成角的大小．

18. 难度：中等

甲乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次．
（Ⅰ）求甲击中1个气球且乙击中两个气球的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．

19. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．