2010年甘肃省平凉市崇信一中高考数学最后一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，P={2，3，4，5}，则（M∩N）∪P为（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，3，4，5}
C．{2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

函数的最大值是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，y=f′（x）是y=f（x）的导函数，命题p：f′（x）=0；命题q：y=f（x）在x=x处取得极值，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知复数z=a+bi（a，b∈R），z₁=1+i，z₂=3-i，且z=z₁•z₂，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

5. 难度：中等

设随机变量ξ～N（μ，σ²），且方程x²+4x+ξ=0无实根的概率为，则μ的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

6. 难度：中等

下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2
B．当x＞0时，+≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x-无最大值

7. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱CC₁与D₁C₁的中点，则直线EF与A₁C₁所成角正弦值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知设是非零向量，若函数且，则函数y=f（x）的图象是（ ）
A．过原点的一条直线
B．不过原点的一条直线
C．对称轴为y轴的抛物线
D．对称轴不是y轴的抛物线

9. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₂+4a₇+a₁₂=100，则2a₃+a₁₅等于（ ）
A．20
B．100
C．25
D．50

10. 难度：中等

已知直线4x-3y-12=0与两坐标轴分别相交于A、B两点，圆C的圆心的坐标原点，且与线段AB有两个不同交点，则圆C的面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（9π，16π）

11. 难度：中等

[理]从数字0，1，2，3，5，7，8，11中任取3个分别作为Ax+By+C=0中的A，B，C（A，B，C互不相等）的值，所得直线恰好经过原点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定直线l与平面α成45°，点P是面α内的一动点，且点P到直线l的距离为2．则动点P的轨迹的离心率是（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知曲线y=xⁿ-1在点（1，0）处的切线与直线2x-y+1=0平行，则n=    ．

14. 难度：中等

若（x³+x^-2）ⁿ的展开式中，只有第5项系数最大，则（x³+x^-2）ⁿ的展开式中x⁴的系数为     ．（用数字作答）

15. 难度：中等

已知2x+3y=13，求x²+y²的最小值．

16. 难度：中等

设，则a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=    ．

17. 难度：中等

已知函数的最小正周期为2π．
（I）求ω的值；
（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

18. 难度：中等

2008年北京奥运会志愿者中有这样一组志愿者：有几个人通晓英语，还有几个人通晓俄语，剩下的人通晓法语，已知从中任抽一人是通晓英语的人的概率为，是通晓俄语的人数的概率为，是通晓法语的人的概率为，且通晓法语的人数不超过3人．现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）若A通晓英语，求A被选中的概率；
（III）若B通晓俄语，C通晓法语，求B和C不全被选中的概率．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点．
（I）求证：EF⊥平面PAD；
（II）求点A到平面PEF的距离；
（III）求二面角E-PF-A的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，其n项和为S_n，且数列{b_n}为等比数列，且是公比为64的等比数列．
（I）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系的距离之比为．设动点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线的值．
（3）若点A在第一象限，证明：当

22. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+4），（a＞0，a≠1）．
（I）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在x=x处的切线平行，求x的值；
（II）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．