2009年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x||x-2|≤1，x∈R}，Q={x|x∈N}，则P∩Q等于（ ）
A．[1，3]
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}

2. 难度：中等

下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=-2^x+1
B．
C．y=-（x-1）²
D．

3. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A．C₆³•C₄²
B．C₆²•C₄³
C．C₁₀⁵
D．A₆³•A₄²

5. 难度：中等

用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1-a_n+1=0（n∈N^*，n≥2），则S₂₀₀₉等于（ ）
A．0
B．2
C．2009
D．4018

7. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|-|x+1|．如果f（f（a））=f（9）+1，则实数a等于（ ）
A．
B．-1
C．1
D．

8. 难度：中等

蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则（ ）
A．A＞B
B．A＜B
C．A=B
D．A，B大小不确定

二、解答题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若∠B=45°，b=，a=1，则∠C等于    度．

11. 难度：中等

若展开式中的二项式系数和为512，则n等于    ；该展开式中的常数项为    ．

12. 难度：中等

已知动直线l平分圆C：（x-2）²+（y-1）²=1，则直线l与圆：（θ为参数）的位置关系是    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l，交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，若|CB|=2|BF|，且AF=3，则抛物线的方程为    ．

14. 难度：中等

定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R．已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：
①f（m，1）=1；
②若m＜n，f（m，n）=0；
③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]，则f（3，2）的值是    ；f（n，n）的表达式为    （用含n的代数式表示）．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域．

16. 难度：中等

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；
（Ⅲ）用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，并求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设过曲线y=f（x）上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最小值，并求此时点P的坐标．

19. 难度：中等

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*；
（Ⅲ）是否存在正整数m，d，使得成立？若存在，请求出m和d的值；若不存在，请说明理由．