2007年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集S={a，b，c，d，e}，集合A={a，c}，B={b，e}，则下面论断正确的是（ ）
A．A∪B=S
B．A⊂∁_SB
C．∁_SA⊊B
D．∁_SA∩∁_SB=∅

2. 难度：中等

设m∈R，向量a=（1，m）．若|a|=2，则m等于（ ）
A．1
B．
C．±1
D．

3. 难度：中等

若p：lg（x-1）＜0，q：|1-x|＜2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=1+log_ax（a＞0且a≠1），f^-1（x）是f（x）的反函数，若y=f^-1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

若（x-1）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a+a₂+a₄的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

7. 难度：中等

设双曲线的半焦距为c，离心率为．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

袋中装有10个球，其中有2个红球、3个白球、5个黄球．若取出一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分．那么从袋中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为（ ）
A．90种
B．100种
C．110种
D．120种

二、解答题

9. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁=3，a₄+a₆=8，则a₉=    ．

10. 难度：中等

设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件．现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取    件玩具．

11. 难度：中等

设实数x，y满足的最大值是    ．

12. 难度：中等

若函数y=sin（x+ϕ）是R上的偶函数，则ϕ的值可以是    ．（只要写出一个符合题意的ϕ值即可，不必考虑所有可能的情形）

13. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是    ；A，B两点的球面距离为    ．

14. 难度：中等

按下列程序框图运算：

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若x=5，则运算进行    次才停止；若运算进行5 次才停止，则x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知α为第二象限的角，为第三象限的角，．
（I）求tan（α+β）的值．
（II）求cos（2α-β）的值．

16. 难度：中等

在20件产品中含有正品和次品各若干件，从中任取2件产品都是次品的概率是．
（I）求这20件产品中正品的个数；
（II）求从中任取3件产品，至少有1件次品的概率．

17. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB
（I）求证：AD⊥B₁D；
（II）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（III）求二面角B-AB₁-D的大小．

18. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）当x∈[0，2]时，若|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

设直线l：y=x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），且n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a₂，a₃，a₄，a₅；
（II）若0＜a_n＜4，证明：0＜a_n+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整数k，使得对于任意n∈N^*，均有a_n+k=a_n成立．