1996年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（ ）
A．I=A∪B
B．I=∪B
C．
D．

2. 难度：中等

当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a^-x与y=log_ax的图象（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若sin²x＞cos²x，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（ ）
A．α⊥γ且l⊥m
B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ

6. 难度：中等

当时，函数f（x）=sinx+cosx的（ ）
A．最大值是1，最小值是-1
B．最大值是1，最小值是-
C．最大值是2，最小值是-2
D．最大值是2，最小值是-1

7. 难度：中等

椭圆的两个焦点坐标是（ ）
A．（-3，5），（-3，-3）
B．（3，3），（3，-5）
C．（1，1），（-7，1）
D．（7，-1），（-1，-1）

8. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．
B．-
C．-2α
D．--2α

9. 难度：中等

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项a₁=-1，前n项和为S_n，若则等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

11. 难度：中等

椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（ ）
A．（3，0），（1，π）
B．（，），（，）
C．（2，），（2，）
D．（，），（，）

12. 难度：中等

等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A．130
B．170
C．210
D．260

13. 难度：中等

设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

14. 难度：中等

母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）
A．0.5
B．-0.5
C．1.5
D．-1.5

二、解答题

16. 难度：中等

已知圆x²+y²+4x+3=0与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相切，则P=    ．

17. 难度：中等

正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有    个（用数字作答）．

18. 难度：中等

求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=    ．

19. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是    ．

20. 难度：中等

解不等式．

21. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．

22. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

（1）求证：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵______
∴EG⊥侧面AC₁；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵______
∴BF⊥侧面AC₁；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．
③∵______
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵______
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵______
∴，即．

23. 难度：中等

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）

24. 难度：中等

已知l₁、l₂是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²-x²=1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求l₁的斜率k₁的取值范围；
（2）若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程．

25. 难度：中等

已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1，
求证：①|c|≤1．
②当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2．