2010年江苏省无锡市江阴市成化高级中学高考数学模拟试卷（19）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z的实部为1，虚部为-2，则=    ．

2. 难度：中等

设集合M={x|x-m＜0}，N={y|y=log₂x-1，x≥4}，若M∩N=∅，则m的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知向量和满足，=7，则向量和的夹角为    °．

4. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则s₄=    ．

5. 难度：中等

命题“ax²-2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是     ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是     ．

7. 难度：中等

已知：f（x）=xe^x，若f_i（x）=f′_i-1（x）（i=1，2，3，…），则f₂₀₁₀（x）=    ．

8. 难度：中等

设函数f（x）=-x³+bx（b为常数），若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，且方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内，则b的取值范围是     ．

9. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的    条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）

10. 难度：中等

在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，（x∈[-2，2]），，∀x₁∈[-2，2]，成立，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知xy＞0，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知是平面上三个不同的点，若存在实数λ，使得，则λ的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足，且t＜a₁＜t+1，其中t＞2，若a_n+k=a_n（k∈N^*），则实数k的最小值为    ．

15. 难度：中等

一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、…、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、…、1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为     ．

16. 难度：中等

设x、y满足约束条件，则z=x²+y²的最小值是    ．

17. 难度：中等

如果执行下面的程序框图，那么输出的结果是    ．

18. 难度：中等

给出下列命题：
①变量y与x之间的相关系数r=-0.9568，查表到相关系数的临界值为r_0.05=0.8016，则变量y与x之间具有线性关系；
②a＞0，b＞0则不等式a³+b³≥3ab²恒成立；
③对于函数f（x）=2x²+mx+n．若f（a）＞0．f（b）＞0，则函数在（a，b）内至多有一个零点；
④y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于x=2对称．其中所有正确命题的序号是    ．

19. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：则四棱锥P-ABCD的表面积为    ．

20. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是    ．

21. 难度：中等

阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是    ．

22. 难度：中等

设m，n是平面α内的两条不同直线；l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是    ．
①m∥β且l₁∥α ②m∥l₁且n∥l₂
③m∥β且n∥β  ④m∥β且n∥l₂

23. 难度：中等

如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于    ．

24. 难度：中等

点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为    ．

25. 难度：中等

已知点P是边长a的正三角形ABC边上的任意一点，则的最小值是    ．

26. 难度：中等

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是    ．

27. 难度：中等

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为    ．

28. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，．
（Ⅰ）若向量∥求满足的角B的值；
（Ⅱ）若，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若，且，求cosB的值．

29. 难度：中等

已知定义在R的函数（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

30. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．

31. 难度：中等

已知分别以d₁，d₂为公差的等差数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=1，b₂₀₀₉=409．
（Ⅰ）若d₁=1，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+2009-2009，求d₂的最小值；
（Ⅱ）若a_k=0，b_k=1600且数列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前项n和S_n满足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，求{a_n}的通项公式．

32. 难度：中等

两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

33. 难度：中等

已知函数R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

34. 难度：中等

求函数y=x²（x＞0）与函数y=2^x的图象所围成的封闭区域的面积．

35. 难度：中等

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求S（t）的解析式．

36. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为，．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

37. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

38. 难度：中等

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围｡．

39. 难度：中等

．
命题q：函数y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞）．
若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

40. 难度：中等

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

41. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

42. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，．
（I）若，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求当时，函数f（x）的值域．

43. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（I）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

44. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0，且a＞1）的右焦点为F（c，0），离心率为e．直线l：y=ex-a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点．
（1）试用a、b、c表示点M的坐标．
（2）若，证明：λ=1-e²．

45. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）求证对任意的n∈N^*，不等式恒成立