| 1. 难度：中等 | |
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符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取： ①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）； ②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）； ③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）． 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试． 已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3． （I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望； （II）求这名同学被该大学录取的概率． |
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| 2. 难度：中等 | |
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为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种． （I）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率； （II）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望． |
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| 3. 难度：中等 | ||||||||||||||||
某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：
（1）求理科组恰好记4分的概率？ （2）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ． |
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| 4. 难度：中等 | |
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动．凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推．摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落、小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元、已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ．（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率； （Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望； （Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算． 
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| 5. 难度：中等 | |
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一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （1）试用n表示一次取球中奖的概率p； （2）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m，求n的最大值； （3）在（Ⅱ）的条件下，当m取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4）），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，求X的分布列、期望． |
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| 6. 难度：中等 | |
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设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． |
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| 7. 难度：中等 | |
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某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于区间[60，110]．将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]． 部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不小于90分）的人数为20． （1）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取两人，成绩记为m，n，求|m-n|＞10的概率； （2）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E（X）． 
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| 8. 难度：中等 | |
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单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不能代替别人购买． （1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种结果的概率是多少？ （2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数ξ的分布列及均值． （3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值． 
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| 9. 难度：中等 | |
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率； （Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望． |
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| 10. 难度：中等 | |
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物效果试验列联表 工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只． （1）求出列联表中数据x，y，M，N的值； （2）通过所给的数据判断药物是否有效； （3）能够以97.5%的把握认为药物有效吗？ 参考数据：  |
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| 11. 难度：中等 | |
某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是 ，甲、丙两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 ．（1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率． （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率． |
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| 12. 难度：中等 | |
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有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用． （1）求①号面需要更换的概率； （2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； （3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． |
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| 13. 难度：中等 | |
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道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题： （1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数． （2）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义． （3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的．依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率．（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议． |
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| 14. 难度：中等 | |
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如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止． （1）求点P恰好返回到A点的概率； （2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量S表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求S的数学期望． 
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| 15. 难度：中等 | |
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甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下， 甲运动员  乙运动员  若将频率视为概率，回答下列问题， （1）求甲运动员击中10环的概率 （2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率 （3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ． |
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| 16. 难度：中等 | |
第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园．在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块．在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率= ，假设甲、乙丙工作队所采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75．（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望； （2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率． |
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| 17. 难度：中等 | |
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一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． （1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大． |
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| 18. 难度：中等 | |||||||||||||||||||||||||
甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：
（2）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望． |
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| 19. 难度：中等 | |
为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下： 其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全． （1）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？ （2）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？ |
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| 20. 难度：中等 | |
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某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （I）估计这次测试数学成绩的平均分； （II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ． 
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