2010年吉林省长春市十一所高中高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=a+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则z²⁰¹⁰的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．命题“若xy=0则x，y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0，则x，y都不为零”
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；则¬p是：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

3. 难度：中等

如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（ ）
A．161cm
B．162cm
C．163cm
D．164cm

4. 难度：中等

已知离心率为e的曲线-=1，其右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则e的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在等差数列中，若是a₂+4a₇+a₁₂=96，则2a₃+a₁₅=（ ）
A．12
B．48
C．24
D．96

6. 难度：中等

已知直线与圆x²+y²=1相切，则直线l的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设函数f（x）=cosx，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数y=x-f′（x）的图象，则m的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．π

8. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）

A．y=0.85
B．y=50×0.53+（x-50）×0.85
C．y=0.53
D．y=50×0.53+0.85

10. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

11. 难度：中等

一种代币的游戏其规则如下：每回持有最多代币者须分给其它每一位参与游戏者一枚代币，并放一枚代币于回收桶中，当有一位游戏参与者没有代币时，则游戏结束，假设A、B、C三人玩此游戏，在游戏开始时分别持有15、14、13枚代币，游戏从开始到结束共进行了n回，则n=（ ）
A．36
B．37
C．38
D．39

12. 难度：中等

对任意的三个实数a，b，c，其中b≠c，令．则q（q（1，2，3），q（2，3，1），q（3，1，2））的值是（ ）
A．
B．
C．0
D．

二、解答题

13. 难度：中等

为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是    ．

14. 难度：中等

已知（1+2x）ⁿ的展开式中，所有项的系数之和等于81，那么这个展开式中x³的系数是    ．

15. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=（x+3）²+y²的最小值为    ．

16. 难度：中等

如图三同心圆，其半径分别为3、2、1．已知图中阴影区域的面积是非阴影区域面积的．则两直线所夹锐角的弧度为     ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．若a=2，，求∠C和△ABC的面积．

18. 难度：中等

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：

甲				乙
环数	8	9	10	环数	8	9	10
概率				概率

（1）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率．
（2）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

20. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，求n的最大值；

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．
求证：（1）AE=CE；（2）CD•CB=4DE²．

23. 难度：中等

已知某条曲线C的参数方程为（其中t是参数，a∈R），点M（5，4）在该曲线上
（1）求常数a；（2）求曲线C的普通方程．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求函数f（x）的最小值．