2009-2010学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数（1-2i）²的虚部为（ ）
A．0
B．-3
C．-4
D．-4i

2. 难度：中等

当时，幂函数y=x^α的图象不可能经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

如图所示的程序框图运行结果为S=1320，那么判断框中应填入（ ）

A．k≥9
B．k≤9
C．k≥10
D．k≤10

5. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．下列结论中正确的（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧非q”是真命题
C．命题“非p∧q”是真命题
D．命题“非p∧q”是假命题

6. 难度：中等

正项等比数列{a_n}的公比q≠1，且a₂，，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．或
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（x-1）²；若当时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p与i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）的“逆序数”是2，则（a₆，a₅，a₄，a₃，a₂，a₁）的“逆序数”是（ ）
A．34
B．28
C．16
D．13

二、解答题

9. 难度：中等

已知直线y=3x+1与曲线y=x³+mx+n相切于点（1，4），则m=    ．

10. 难度：中等

函数的单调递增区间为    ．

11. 难度：中等

设x，y是满2x+y=4的正数，则lgx+lgy的最大值是    ．

12. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如右图所示，其中，正视图是边长为的正方形，侧视图是一条直角边为1的直角三角形，俯视图是矩形，则这个几何体的体积是    ，表面积是    ．

13. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则=    ．

14. 难度：中等

已知数组：，记该数组为：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆）…，，则a_2009⁼    ．

15. 难度：中等

设A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别a，b，c.，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=，求b+c的值．

16. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；
（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由；
（3）若PA=AB=2，对于（Ⅱ）中的点F，求三棱锥P-BEF的体积．

17. 难度：中等

设a∈R且a≠2，函数f（x）=e^x（x²-ax+a）．
（1）求f'（0）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（I）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（II）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（III）两名同学的试验结束后，男同学做试验得到的试验数据为68、70、71、72、74，女同学做试验得到的试验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．

19. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

20. 难度：中等

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃，并猜想a_n关于n的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．