2006年高考第一轮复习数学：2.12 函数的综合问题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（2^x-b）（b为常数），若x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则（ ）
A．b≤1
B．b＜1
C．b≥1
D．b=1

2. 难度：中等

取第一象限内的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），使1，x₁，x₂，2依次成等差数列，1，y₁，y₂，2依次成等比数列，则点P₁、P₂与射线l：y=x（x＞0）的关系为（ ）
A．点P₁、P₂都在l的上方
B．点P₁、P₂都在l上
C．点P₁在l的下方，P₂在l的上方
D．点P₁、P₂都在l的下方

3. 难度：中等

已知y=f（x）在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上（ ）
A．单调递减且最大值为7
B．单调递增且最大值为7
C．单调递减且最大值为3
D．单调递增且最大值为3

二、解答题

4. 难度：中等

若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，-1），则不等式|f（x+1）-1|＜2的解集是    ．

5. 难度：中等

关于x的方程|x²-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是     ．

6. 难度：中等

若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px-）（x∈R），则f（x）的一个正周期为    ．

7. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x-1），求f（2002）的值．

8. 难度：中等

函数f（x）=（m＞0），x₁、x₂∈R，当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=．
（1）求m的值；
（2）数列{a_n}，已知a_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求a_n．

9. 难度：中等

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

10. 难度：中等

对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值．

11. 难度：中等

已知关于x的方程sin²x-2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围．

12. 难度：中等

记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

13. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出若不存在，请说明理由．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

15. 难度：中等

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

16. 难度：中等

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有＞0．
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-）＜f（x-）；
（3）记P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}，且P∩Q=∅，求c的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
（理）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n（1≤n≤30、n∈N^*）的函数关系如下图所示，其中函数f （n）图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．
（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；
（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．